На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Введение в поверхности бесконечного типа

Лекции читаются очно по четвергам первой парой (17:30-19:10) в аудитории 303 и транслируются на YouTube.

К каждой лекции выкладываются листки с задачами. Вот кондуит.

Сдавшим не менее чем по 4 задачи хотя бы из 9 листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу закрытых листков.

Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru. Ну или в телеграм. Если есть какие-нибудь вопросы, тоже не стесняйтесь писать. А вот чат курса, заходите!

Лекции и задачи

13 марта, лекция 4. Функции морса, разложения на ручки. Гомотопии и изотопии. Группа классов отображений. Комплекс кривых.

6 марта, лекция 3 (видео). Разложение поверхности на штаны. Критерии непланарности конца поверхности. Доказательство теоремы о классификации некомпактных поверхностей. Задачи к лекции 3.

20 февраля, лекция 2 (видео). Проконечные пространства и их свойства. Планарные и непланарные концы поверхности. Теорема о классификации некомпактных поверхностей (формулировка). Задачи к лекции 2.

13 февраля, лекция 1 (видео). Замечания о гладкости. Примеры поверхностей. Концы топологических пространств, формулировка теоремы о классификации некомпактных поверхностей (начало). Задачи к лекции 1.

Программа курса

Все, кто начали изучать топологию, хорошо знают теорему о классификации компактных поверхностей. Но что если отбросить условие компактности? Некомпактная поверхность уже может иметь бесконечное число ручек и/или бесконечное число проколов.

Оказывается, этих данных далеко не достаточно для их полной классификации — некомпактные поверхности с точностью до гомеоморфизма описываются своим множеством концов. Помимо этой фундаментальной теоремы, мы разберём ряд других интересных свойств поверхностей бесконечного типа, в том числе сформулируем некоторые открытые проблемы.

Теория поверхностей бесконечного типа бурно развивается в последние пару десятков лет. Появляются интересные результаты — как обобщающие известные факты о компактных (римановых) поверхностях, так и имеющие совершенно иную природу. Сами же поверхности — простой, но достаточно богатый пример, чтобы продемонстрировать важные методы работы с многообразиями и различные приёмы геометрической теории групп.

Курс рассчитан на студентов 3–5 курсов.

Примерный план:

1. Примеры многообразий бесконечного типа (бесконечные связные суммы, дополнения к диким подмногообразиям).

2. Функции Морса, разложение многообразий на ручки, разложение поверхности на штаны.

3. Обратные пределы, проконечные пространства. Вполне несвязные компакты со счётной базой. Пространство концов некомпактного многообразия. Концы графа.

4. Концы поверхности, явная конструкция. Непланарные/неориентируемые концы.

5. Построение поверхности с заданным множеством концов. Компактификация поверхности с планарными концами является многообразием.

6. Теорема о классификации некомпактных поверхностей.

7. Компактно-открытая топология на множестве непрерывных отображений. Примеры. Топологические группы.

8. Действия топологических групп. Группа гомеоморфизмов, группа классов отображений.

9. Комплекс кривых, его свойства. Действие группы классов отображений.

10. Принцип Александера.

11. Группы классов отображений компактных поверхностей / поверхностей конечного типа. Теорема Дена-Нильсена. Теорема Дена-Ликориша.

12. Теорема о геометричности автоморфизмов комплекса кривых. Группа классов отображений поверхности бесконечного типа не локально компактна (и гомеоморфна R\Q).

13. Скручивания Дена, мультискручивания. Группа классов отображений с компактным носителем.

14. Группа классов отображений поверхности с более чем одним непланарным концом не порождается топологически скручиваниями Дена.

15. Гиперболические метрики. Квазиконформные отображения, модулярные группы.

Литература