Никон Михайлович Курносов

Рассмотрим кривую рода 0, она является коническим сечением, и рациональных точек на ней может быть либо ноль, либо бесконечно много.

На кривых рода 1 рациональных точек либо нет, либо, в случае эллиптических кривых, точки образуют группу. А сколько может быть рациональных точек на кривых рода больше 1? Оказывается, конечное число — это утверждение называется гипотезой Морделла (теоремой Фальтингса в более общем случае).

Об общих случаях речь, конечно, не пойдёт, но мы рассмотрим основные моменты красивого доказательства, данного Бомбьери.

Курс рассчитан на первокурсников, а также школьников, знакомых с основами линейной алгебры и анализа.

План

1. Теорема Морделла об уравнении $y^2=x^3+k$.
2. Уравнение Туе, лемма Зигеля. Теорема Рота.
3. Идея доказательства гипотезы Морделла.

Материалы

• записки 1
• записки 2
• записки 3
• записки 4
• листок 1
• листок 2
• листок 3-4