Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.
Доступны 4 видеозаписи курса.
Доступны заметки к первому, второму, третьему занятиям и задачи (первый, второй, третий листок).
История дзета-функций началась с вопроса из XVII-го века: чему равна сумма обратных квадратов? и показала свою глубину, когда Эйлер в XVIII-м веке ответил: $$ \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=\frac{\pi^2}{6}. $$ Попутно Эйлер объяснил, при чём тут простые числа, как разлагать на множители многочлены бесконечных степеней, чему равны суммы обратных четвёртых, шестых, восьмых, ... степеней и (хотя не очень на этом настаивал) объявил, что $$ 1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12}. $$ В курсе будет рассказано, каким из идей Эйлера за минувшие столетия удалось придать точный смысл, а какие остаются вдохновляющими аналогиями. В современной математике рассматриваются дзета-функции числовых полей, алгебраических многообразий над конечными полями (здесь дела обстоят особенно хорошо), римановых многообразий (ведь замкнутые геодезические похожи на простые числа, правда?), операторов Лапласа на них и много чего ещё.
Пререквизиты. Понимание разных частей курса потребует разной математической подготовки. В начале будет достаточно некоторого владения основами математического анализа; крайне желательно также умение проверять числовые равенства с помощью современных компьютерных средств. Для некоторых частей потребуется владение определениями из «взрослой» математики, которые по возможности будут объяснены.
Примерная программа.