В осеннем семестре 2003 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
На осенний семестр 2003 года семинар рботу закончил. Следующее заседание --- 13 февраля 2004 года.
Пятница, 28 ноября 2003, 17.00, ауд. 206
В последнее время В. Фоком было сделано несколько докладов на эту тему. Предполагается, что на этом докладе, после общих определений, будут с большей подробностью рассмотрены следующие примеры: 1) кластерная алгебра, связанная с пространством представлений голономии римановой поверхности; 2) возникновение картинки "треугольного грида".
Пятница, 21 ноября 2003, 17.00, ауд. 206
This is based on our joint paper with R.Penner. We use the quantization of Teichmuller spaces of Riemann surfaces with holes in the Poincare uniformization picture and use the Penner--Fock construction for describing the corresponding structures via fat graphs. We find classical and quantum mapping class group transformations in terms of coordinates on fat graphs. Thurston theory describes the (generalized) set of observables on the Riemann surfaces in terms of train tracks that generalize the notion of lamination, or multicurve. We prove that dividing the length of a lamination by its graph length in both the classical and quantum case, we obtain function or operator that is continuous (weakly continuous) on the space of train tracks.
Пятница, 14 ноября 2003, 17.00, ауд. 206
С вещественным (аналитическим) симплектическим многообразием, оснащённым согласованными с симплектической структурой и между собой линейным эрмитовым расслоением и метаплектической структурой, можно связать бесконечномерное келерово многообразие бор-зоммерфельдовых циклов (лагранжевых циклов фиксированного объёма, на которые линейное расслоение ограничивается с тривиальной голономией) и динамическое соответствие, отображающее, с сохранением скобки Пуассона, гладкие функции на исходном симплектическом многообразии в гладкие функции на этом келеровом. А для каждой интегрируемой келеровой структурой на исходном симплектическом многообразии возникает каноническое голоморфное отображение из бор-зоммерфельдовых циклов в голоморфные (относительно рассматриваемой келеровой структуры) сечения линейного расслоения на исходном симплектическом многообразии. Это отображение обобщает тэта-функцию Римана и позволяет строить "жёсткие" базисы в линейных системах и связности на расслоениях конформных блоков.
Пятница, 7 ноября 2003, 17.00, ауд. 206
Пятница, 31 октября 2003, 17.15, ауд. 206
Теорема Борсука-Улама утверждает, что всякое непрерывное отображение сферы в эвклидово пространство той же размерности склеивает пару антиподов. Из этой теоремы легко следуют теорема Брауэра о неподвижной точке и негомеоморфность эвклидовых пространств различных размерностей. Теорема Борсука-Улама часто применяется в комбинаторике и геометрии, но ее стандартное доказательство недоступно большинству нетопологов, в отличие от того доказательства, которое будет изложено в докладе.
ВНИМАНИЕ! Начало доклада в этот раз -- на 15 мин. позже обычного в связи с докладом Д.Ю.Логачева.
Пятница, 24 октября 2003, 17.00, ауд. 206
Выпуклый многогранник в S^n, E^n или в пространстве Лобачевского H^n называется многогранником Кокстера, если все его двугранные углы являются целыми частями \pi. Классификация многогранников Кокстера эквивалентна классификации дискретных групп, порожденных отражениями.
Сферические и евклидовы многогранники Кокстера были классифицированы Кокстером еще в 1934г. Классификации гиперболических многогранников до сих пор не существует.
В докладе будет рассказано об известных на данный момент результатах и методах их получения. В частности, предполагается рассказать о методе перечисления многогранников, придуманном Эссельманом (1994). По сути, метод является переформулировкой результатов Винберга (УМН, 1985) на языке комбинаторных объектов --- диаграмм Гейла, содержащих всю информацию о комбинаторике многогранника. В то же время, с его помощью получены весьма нетривиальные результаты про многогранники с небольшим количеством граней. Докладчик надеется, что результаты могут быть обобщены на многогранники с б\'ольшим (и, в частности, с больш\'им) числом гиперграней.
Пятница, 17 октября 2003, 17.00, ауд. 206
To each Coxeter configuration $R$ and invariant integer multpilicity function $m$ on the mirrors one can naturally relate a ring $Q^{R,m}$ of quasi-invariant polynomials. These rings were introduced by Chalykh and Veselov in 1990 as the rings isomorphic to the rings of quantum integrals for the generalized Calogero-Moser problems.
The structure of the rings $Q^{R,m}$ has been studied recently by Veselov and the author, Etingof and Ginzburg. In particular, Etingof and Ginzburg proved that the ring of quasi-invariants is free as a module over its subring of invariant polynomials. I will recall classical results of Chevalley and Steinberg showing similarity and differences of the quasi-invariant module and the module of all polynomials over invariants.
Currently, Feldman and author look for topological interpretation of the quasi-invariant rings $Q^{R,m}$.
Пятница, 10 октября 2003, 17.00, ауд. 206
Budet napomneno o klassicheskom primere--mnogogrannikax Stasheffa, posle chego budet rasskazano o pridumannoi dokladchikom kompactificacii prostranstv nedavno vvedennyx M.Kontsevichem. Poslednie prostranstva svyazany s teoriey deformaciy associativnyx bialgebr.
Пятница, 3 октября 2003, 17.00, ауд. 206
It is supposed to be a survey talk, where I'll try to present both classical and modern results. The main topics are: invariant-theoretic methods, a formula of three Indian mathematicians, Klimyk's formula, the Littlewood-Richardson rule; Littelman's path method, Berenstein-Zelevinsky triangles, and a polytope calculus.
Пятница, 26 сентября 2003, 17.00, ауд. 206
Предполагается ввести класс Кодаира-Спенсера и с его помощью выписать простые формулы для инфинитезимальных деформаций мероморфных функций и векторных полей на римановых поверхностях. Ввести конформные блоки, связность Книжника-Замолодчикова. С помощью упомянутых выше формул доказать, что эта связность корректно определена на конформных блоках. Если удастся, доказать плоскостность этой связности.
Все вместе составляет существенный кусок геометрических основ конформной теории поля (модель Весса-Зумино-Новикова-Виттена), однако основное внимание предполагается уделить не общим вещам, а разбору геометрических деталей. Все, что будет сказано, относится к локальной теории, то есть будет происходить в окрестности общей точки пространства модулей римановых поверхностей.
Пятница, 19 сентября 2003, 17.00, ауд. 206
В докладе будут рассмотрены двумеризованные по Лезнову--Савельеву уравнения Тоды $E_Toda$, ассоциированные с полупростой комплексной алгеброй Ли $g$. Приведя исчерпывающее описание их нетеровых симметрий $sym L_Toda$, законов сохранения и операторов рекурсии, выраженных через бесследовый тензор энергии--импульса (ТЭИ) $\Theta=T dz+\bar T d\bar z$, мы строим коммутативную подалгебру $A \subset sym L_Toda$ нетеровых симметрий, потокам которой соответствуют обобщенные потенциальные модифицированные уравнения Кортевега--де Фриза $E_{pmKdV,g}$, индуцируем алгебру $B$ деформаций $\Theta$ и сопоставляем ее иерархии высших уравнений КдФ $E_{KdV,g}$ для любой $g$. Изучая свойства преобразований Миуры между $A$ и $B$, мы выражаем бигамильтоновы структуры как для потенциального, так и для непотенциального уравнений $E_{(п)мКдФ,g}$ в терминах алгебры $sym L_Toda \subset sym E_Toda$. В заключительной части доклада предполагается доказать, что элементы $B$ являются не только сохраняющимися плотностями для $E_Toda$, но и гамильтонианами потоков $A$.
Пятница, 12 сентября 2003, 17.00, ауд. 206
Инварианты Громова--Виттена многообразия подсчитывают числа удовлетворяющих определенным условиям отображений римановых поверхностей в это многообразие. Такие числа естественно объединять в производящие функции. При удачном объединении оказывается, что построенная производящая функция удовлетворяет несложному уравнению в частных производных (такие уравнения были написаны, скажем, Гульденом-Джексоном и Димой Звонкиным), причем доказательство этого факта тоже может быть довольно простым: такое уравнение есть, по существу, не что иное как рекуррентное соотношение на числа. В недавних работах группы китайских математиков (Лю, Лю, Жу), о которых С.М.Натанзон попросил меня рассказать, подобные дифференциальные уравнения используются для унифицированного доказательства целого ряда уже известных формул для инвариантов Громова--Виттена, в том числе тех, в которых эти инварианты представлены в терминах интегралов Ходжа по пространствам модулей кривых (формулы Мариньо-Вафы и Экедала-Ландо-Шапиро-Вайнштейна), а также для вычисления встречающихся в них интегралов Ходжа. Доказательства очень часто носят технический характер и сопровождаются объемными вычислениями, которые я заведомо не смогу воспроизвести. Однако об основе подхода постараюсь рассказать.
Пятница, 5 сентября 2003, 17.00, ауд. 206
Независимо Shiff'ом и Santini-Doliva-Niesporshii была построена дискретизация известных уравнений Бьянки. Доклад посвящен построению первых тэта-функциональных решений дискретизированных уравнений.
