Лекция 1. Полилинейные отображения и тензорные произведения модулей над коммутативным кольцом. Универсальное свойство и канонические изоморфизмы. Базис тензорного произведения векторных пространств, изоморфизм U*?W=Hom(U,W), многообразия Сегре. Тензорные произведения абелевых групп. Тензорные произведения линейных отображений. Образующие и соотношения тензорного произведения модулей, заданных образующими и соотношениями.
Лекция 2. Тензорная алгебра векторного пространства, свёртки, линейный носитель тензора. Симметрическа и внешняя алгебры векторного пространства. Симметрические и косососимметрические тензоры, симетризация и альтернирование. Поляризация однородных многочленов и грассмановых многочленов над полем характеристики нуль, частные производные. Описание многочленов и грассмановых многочленов с минимально возможными линейными носителями.
Лекция 3. Симметрические и кососимметрические многочлены и ряды. Мономиальные, элементарные и полные симметрические многочлены, многочлены Ньюьона и детерминантные многочлены Шура. Выражение элементарных и полных многочленов через Ньютоновские и друг через друга. Выражение детерминантных многочленов Шура через полные (формула Джамбелли). Формула Пьери для умножения полинома Шура на полный симметрический многочлен. Кольцо симметрических функций.
Лекция 4. Исчисление массивов, таблиц и диаграмм. Элементарные операции над масивами и уплотнение массивов. Действие симметрической группы на массивах. Полиномы Шура DU-множеств и DU-орбит, числа Костки, правило Литтлвуда-Ричардсона и тождество Якоби-Труди. Соотношения между колическтвами таблиц и стандартных таблиц.
Лекция 5. Знакомство с теорией представлений. Представление множества операторов: приводимость, разложимость, полупростота. Лемма Шура, изотипные подмодули. Полупростые модули над ассоциативными алгебрами: свойства, теорема о двойном централизаторе, теорема Бернсайда. Представления групп: представления конечных абелевых групп и двойственность Понтрягина, полная приводимость представлений конечной группы, теорема Машке для групповой алгебры конечной группы. V?n как Sn?GL(V)-модуль: тип симметрии тензора, соответствие Шура-Вейля.
Лекция 6. sl2-модули. Алгебры Ли, универсальная обёртывающая алгебра, линейные представления алгебр Ли. Описание конечномерных неприводимых sl2-модулей. Оператор Казимира и полная приводимость конечномерных sl2-модулей.
Лекция 7. Представления конечной группы. Скалярное произведение на групповой алгебре, формула Планшереля, проекторы на изотипные компоненты. Преобразование Фурье. Теория характеров, кольцо представлений. Индуцированные и коиндуцированные представления, взаимность Фробениуса.
Лекция 8. Представления симметрических групп. Действие на заполненных диаграммах: симметризаторы Юнга и минимальные левые идеалы групповой алгебры. Действие на таблоидах, характер модуля таблоидов. Модуль Шпехта, табличный базис модуля Шпехта. Изометрический изоморфизм кольца представлений симметрических групп с кольцом симметрических функций, правило Литтлвуда?Ричардсона, правила ветвления и формула Фробениуса для характеров.
Лекция 9. Категории, функторы, предпучки. Категория функторов и категория предпучков, эквивалентности категорий. Представимые функторы и представимые предпучки, лемма Ионеды, задание объектов универсальными свойствами. Сопряжённые функторы. Пределы диаграмм, функториальные свойства пределов, замкнутые категории.
