На главную страницу НМУ

Елагин Алексей

Введение в гомологическую алгебру

Лекции (Lecture notes. pdf)

[Лекция 1.pdf|Лекция 2.pdf|Лекция 3.pdf|Лекция 4.pdf]
[Лекция 5.pdf|Лекция 6.pdf|Лекция 7.pdf|Лекция 8.pdf]
[Лекция 9.pdf|Лекция 10.pdf|Лекция 11.pdf|Лекция 12.pdf]
[Лекция 13.pdf|Лекция 14.pdf]

Программа курса

Курс рассчитан на студентов, не изучавших ранее гомологическую алгебру, и/или желающих подробно разобраться в её началах. Минимальные предполагаемые знания - кольца и модули над кольцами и операции с ними. Может быть полезно знакомство с понятием гладкого многообразия и простейшими идеями алгебраической геометрии.
  1. Комплексы и когомологии.
    Комплексы. Морфизмы комплексов. Точные последовательности. Длинная точная последовательность когомологий. Гомотопии. Конус морфизма. Примеры вычисления когомологий.

  2. Категории и функторы.
    Представимые функторы, лемма Йонеды. Точные функторы, точные слева и справа функторы. Функторы гомоморфизмов и тензорного умножения. Проективные и инъективные объекты.

  3. Классические производные функторы.
    Проективные и инъективные резольвенты, их свойства. Производные функторы - явная конструкция. Длинная точная последовательность производных функторов. Дельта-функтор. Аксиоматическое определение производных функторов, его равносильность явному. Вычисление производных функторов при помощи ациклических резольвент.

  4. Примеры и применения производных функторов.
    Проективные и инъективные модули над кольцом, их свойства. Функторы Ext и Tor. Проективная и инъективная размерность модуля. Глобальная размерность кольца. Кольца глобальной размерности 0 и 1. Сравнение комплекса и его когомологий. Эквивалентность определений Ext и Tor по двум аргументам. Ext^1 и расширения. Tor и кручение. Tor и кратность пересечения.

  5. Абелевы категории.
    Аддитивные категории и функторы. Ядра и коядра. Абелевы категории, точные функторы. Сопряжённые функторы. Эквивалентности и строго полные функторы. Расслоенные и корасслоенные произведения. Диаграммный поиск и язык стрелок.

  6. Производная категория.
    Категория комплексов. Гомотопическая категория комплексов. Квазиизоморфизмы. Универсальное свойство. Локализация категорий. Арифметика дробей. Условия Оре. Категория домиков. Проверка условий Оре для гомотопической категории. Производная категория как локализация гомотопической.

  7. Триангулированные категории.
    Выделенные треугольники в гомотопической категории, их свойства. Длинные точные последовательности в когомологиях. Аксиомы триангулированной категории и их следствия. Проверка аксиом для гомотопической категории. Точные функторы. Локализация триангулированных категорий. Производная категория триангулированна.

  8. Морфизмы в производной категории.
    Локализация и факторизация триангулированных категорий. Ацикличные комплексы. Проективные и инъективные резольвенты как сопряжённые функторы к проекции. Полуортогональные разложения. Случай неограниченных производных категорий. Абелева категория как категория 0-комплексов. Группы Ext как морфизмы между i-комплексами. Ext по Йонеде. Умножение в Ext.

  9. Производный функтор.
    Определения производного функтора - явное и аксиоматическое. Локализация функтора, условия её существования. Построение производного функтора с помощью проективных и инъективных резольвент. Построение производного функтора с помощью ацикличных резольвент. Связь с классическими производными функторами. Производный функтор композиции.

  10. Спектральные последовательности.
    Определение: набор данных. Спектральная последовательность фильтрованного комплекса. Спектральная последовательность двойного комплекса. Резольвента Картана-Эйленберга. Спектральная последовательность композиции производных функторов. Примеры спектральных последовательностей.

Рекомендуемая литература:

С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин, Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории.
Rambler's Top100