Экзамен 20 мая - ответы и комментарии
[ Листок 1.pdf | Листок 2.pdf | Листок 3.pdf | Листок 4.pdf ]
[ Листок 5.pdf | Листок 6.pdf | Листок 7.pdf | Листок 8.pdf ]
[ Листок 9.pdf ]
Двойственное пространство, невырожденные спаривания. Сопряжённое линейное отображение. Двойственный базис.
Операторы. След. Собственные векторы и значения. Диагонализируемые операторы. Характеристический многочлен. Теорема Гамильтона-Кэли. Корневые подпространства. Нормальная форма Жордана.
Билинейные и квадратичные формы. Симметрические и кососимметрические билинейные формы. Ортогонализация Грама-Шмидта. Квадратичные формы над R.
Операторы в евклидовых пространствах. Сопряжённый оператор, ортогональные, унитарные и самосопряжённые операторы. Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Главные оси, главные значения.
Тензорное произведение модулей. Тензоры. Операторы, билинейные формы как тензоры, структурный тензор алгебры. Свёртка.
Градуированные кольца, идеалы и модули.
Тензорная алгебра векторного пространства. Симметрическая и внешняя алгебры. Симметрическая и внешняя степени векторного пространства.
Линейные представления группы. Неприводимые и вполне приводимые представления. Операции с представлениями. Лемма Шура. Теорема Машке.
Представления простейших групп.
Гомоморфизмы представлений, регулярное представление. Групповая алгебра, её строение. Формула Бернсайда.
Характеры представлений, соотношения ортогональности. Число неприводимых представлений над алгебраически замкнутым полем.
Расширения полей. Алгебраичность элемента. Конечные, алгебраические расширения. Степень расширения. Башня расширений.
Минимальный многочлен элемента, присоединения корня. Поле разложения многочлена. Сепарабельные расширения.
Алгебры над полем. Кватернионы, алгебры с делением, теорема Фробениуса.
Простые и полупростые модули. Полупростые алгебры. Критерии полупростоты.
