На главную страницу НМУ

Георгий Игоревич Шарыгин

Дифференциальная геометрия

Лекции читаются очно по средам, в 17:30 в аудитории 304 и транслируются на YouTube.

Видео-записи курса

Листки

[ листок 1 ]

Программа курса «Дифференциальная геометрия»**

  1. Повторение 1. Гладкие и аналитические многообразия (определение, локальные координаты, гладкая структура, подмногообразия, гладкие отображения, диффеоморфизмы). Векторные поля, коммутатор векторных полей, тензорные поля, производная Ли, дифференциальные формы, их свойства (размерность пространства кососимметричных тензоров, перенос дифференциальных форм при гладких отображениях, дифференциал де Рама); когомологии де Рама, лемма Пуанкаре, инвариантность отображений при гомотопиях. Ориентация многообразий, интегрирование дифференциальных форм и формула Стокса.

  2. Повторение 2. Теорема Сарда и следствия из неё: теорема Уитни о вложении n-мерного компактного многообразия в R^{2n+1}, трансверсальность и теорема об общей точке. Теорема Фробениуса и следствия из неё.

  3. Элементы дифференциальной топологии. Степень отображения гладких многообразий, её свойства. Индекс особых точек векторных полей, его свойства. Эйлерова характеристика многообразия, теорема Пуанкаре-Хопфа. Гауссова кривизна гиперповерхностей. Теорема Гаусса-Бонне для гиперповерхностей без края в R^{2n+1}*.

  4. Элементы римановой геометрии 1. Риманова структура на многообразии, изометрии многообразий. Индуцированная метрика на подмногообразии. Аффинные связности на многообразиях. Симметрическая риманова связность на многообразиях и подмногообразиях (её существование, единственность). Кривизна Римана, её симметрии и свойства. Теория Ходжа*.

  5. * Отступление/пример 1: геометрия поверхностей в евклидовых пространствах. Геодезические и связности на поверхностях в Евклидовом пространстве. Их свойства. Деривационные формулы Вайнгартена-Гаусса. Теорема egregium Гаусса. Уравнения Гаусса, Петерсона-Кодацци-Майнарди. Теорема Бонне — восстановление поверхности по первой и второй фундаментальным формам. Формула Гаусса-Бонне для двумерных поверхностей с краем.

  6. Элементы римановой геометрии 2. Параллельный перенос и геодезические на многообразиях; их свойства. Экспоненциальное отображение. Лемма Гаусса и теорема Хопфа-Ринова. Нормальные координаты. Формула для дифференциала экспоненциального отображения на аналитическом многообразии. Кривизна по двумерному направлению, формула Римана для кривизны по двухмерным направлениям. Свойства многообразий отрицательной секционной кривизны. Вполне геодезические подмногообразия*.

  7. * Отступление/пример 2: элементы теории групп Ли. Определение и примеры групп Ли. Алгебра Ли. Форма Маурера-Картана. Экспоненциальное отображение. Формула Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа. Форма Киллинга. Критерий компактности. Когомологии компактных групп Ли. Однородные пространства групп Ли.

  8. Дифференциальная геометрия расслоений 1. Гладкие локально-тривиальные расслоения, определение, функции переклейки, структурная группа, некоммутативный коцикл; векторные расслоения, главные расслоения. Индуцированные расслоения; примеры (расслоения реперов, расслоение калибровочных полей). Изоморфизмы расслоений, некоммутативные 1-мерные когомологии. Ориентация и евклидова/эрмитова структура на векторных расслоениях. Первый класс Штифеля-Уитни и первый класс Чженя как препятствия. Второй класс Штифеля-Уитни и спинорная структура*.

  9. Дифференциальная геометрия расслоений 2. Связности на главных и векторных расслоениях, (определение и 1-форма связности на главном расслоении, связности в индуцированных расслоениях, калибровочные потенциалы, калибровочные преобразования). Ковариантное дифференцирование, кривизна связности, формулы Бианки. Гомоморфизм Чженя-Вейля, характеристические классы, примеры: классы Чженя, классы Понтрягина, пфаффиан и класс Эйлера. Теорема Гаусса-Бонне-Чженя*.

  10. * Элементы комплексной дифференциальной геометрии. Свойства комплексно-аналитических функций многих переменных. Комплексные координаты. Почти комплексные структуры, тензор Нийенхёйса, теорема Ньюлендера-Ниренберга. Эрмитов структуры, кэлеровы многообразия. Пучок голоморфный функций, когомологии Дарбу. Голоморфные векторные расслоения. Класс Атьи.

——————————————————————————————
* = если будет время и силы.
** = программа не предусматривает изучения геометрии кривых и 2-мерных поверхностей; эти темы можно изучать на семинарах.

Книги:

А) Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства;

Б) Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли;

В) Хирш М. Дифференциальная топология;

Г) Зуланке Р., Виновен П. Дифференциальная геометрия и расслоения;

Д) Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии;

Е) Ту Л. Дифференциальная геометрия: связности, кривизны и характеристические классы.