Римановы поверхности (Riemann surfaces)

С.М.Львовский (S.Lvovski)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

[Листок 1 (29K)|Листок 2 (33K)|Листок 3 (26K)|Листок 4 (27K)
Листок 5 (22K)|Листок 6 (24K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (12K)|Листок 2 (13K)|Листок 3 (10K)|Листок 4 (11K)
Листок 5 (9K)|Листок 6 (10K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (30K)|Zipped postscript (13K)]

Это — введение в теорию компактных римановых поверхностей. Предполагается известным содержание стандартных курсов, читающихся на первых двух годах обучения в НМУ (анализ, ТФКП, топология, алгебра). Следует принять во внимание, что в курсы ТФКП в Независимом Московском университете традиционно входят и начальные сведения о римановых поверхностях; они также будут предполагаться известными (курс начнется с кратких напоминаний).

Примерная программа

Напоминание определений и простейших свойств. Риманова поверхность алгебраической функции. Теорема существования Римана (без доказательства). Риманова поверхность, соответствующая плоской алгебраической кривой.
Дивизоры. Канонический класс. Построение канонического класса с помощью вычета Пуанкаре. Формула Римана-Гурвица.
Первые примеры линейных систем. Адели. Теорема Римана-Роха (предварительная форма).
Вычеты. Двойственность Серра. Теорема Римана-Роха (окончательная форма).
Линейные системы и приложения теоремы Римана-Роха. Гиперэллиптические кривые. Каноническое вложение. Римановы поверхности малого рода (не выше 5).
Теорема Абеля-Якоби. Якобиан.
Автоморфизмы и голоморфные отображения. Оценка Гурвица. Теорема Де Франкиса.
Тэта-дивизор. Теорема Торелли (геометрическая часть). Отступление: проективная двойственность.
Тэта-функция Римана.
Линейные расслоения и их связь с дивизорами (обзор).
Линейные расслоения на комплексных торах — классификация.
Теорема Торелли — аналитическая часть: риманова поверхность востсанавливается по матрице периодов.