Александр Александрович Приходько

Функциональный анализ.

Задачи

[Задачи 1.pdf |Задачи 2.pdf |Задачи 3.pdf |Задачи 4.pdf ]
[Задачи 5.pdf ]

Экзамен

[Список тем к экзамену.pdf ]

Программа годового курса

0. Введение Как функциональный анализ возникает в задачах математического и комплексного анализа? Зарисовки о применении функционального анализа в теории чисел. Спектральная теория и анализ Фурье в исследовании классических и квантовых динамических систем.
1. Геометрия в гильбертовых и банаховых пространствах Как видоизменяется евклидова геометрия при переходе к бесконечному числу измерений? Как геометрия определяет структуру гильбертова пространства: равенство параллелограмма и поляризационное тождество. Ограниченные операторы, функционалы и формы, три теоремы Банаха (общая картина). Дуальность в гильбертовых пространствах. Классические ортогональные многочлены. Полнота. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
2. Замечательные пространства Пространства $L^p(X)$. Неравенства Йенсена, Гёльдера и Минковского. Пространства непрерывных функций. Меры как функционалы. Теорема Рисса--Маркова. Пространства Бергмана. Пространства Харди.
3. Выпуклость и задачи вариационного исчисления Геометрические аспекты задачи приближения в банаховом пространстве. Теорема Банаха--Хана. Двойственность выпуклых фигур. Отступление о роли трансфинитной индукции в анализе. Аналитический взгляд на многообразие инвариантных мер случайных процессов и динамических систем: от анализа к комбинаторике и обратно. Теоремы Крейна--Мильмана. Теория Шоке.
4. "Типичные явления" Слабая топология. Компактность штрих-единичного шара. Теорема Банаха--Алаоглу. Приложение к топологии тихоновких произведений. Меры Хаара на компактных группах. Теоремы о неподвижной точке. Теорема Крейна--Шмульяна--Эберлейна. Категория Бэра. Типичные явления в эргодической теории: операторный подход. Унитарные операторы с экзотическими спектральными свойствами.
5. Спектральная теория: алгебра, топология или анализ? Коммутативный гармонический анализ. Абстрактный подход к обоснованию спектральной теории в банаховых алгебрах. Теорема Стоуна--Вейерштрасса. Спектральная теория коммутативных $C^*$-алгебр. Спектр и теория возмущений. Спектральные инварианты унитарного оператора. Унитарные представления и эргодическая теория. Спектральная интерпретация статистических и динамических свойств. Теория Штурма--Лиувилля. Спектральная теория самосопряженных компактных операторов. Теория Фредгольма.
6. Операторный подход к исследованию структуры динамических систем Аналитический подход в теории динамической энтропии (энтропия Колмогорова). Джойннги и сплетающие операторы. Теоремы о метрическом изоморфизме (фон Нейманн, Орнстейн). Теория Фюрстенберга и её приложения.
7. Анализ Фурье, обобщённые функции и уравнения математической физики Алгебраические свойства преобразования Фурье. Пространства Шварца. Теорема Пэли--Винера. Преобразования Лапласа и Меллина. Пространства пробных функций. Пространства обобщённых функций. Локализация. Дуальность и принцип неопределённости для преобразования Фурье. Пространства Соболева. Обобщённые решения дифференециальных уравнений.
8. Знакомство с вейвлетами
9. Операторный и динамический подходы к построению квантовой механики Неограниченные операторы и математическая физика. Анализ Фурье. Спектр. Теорема Стоуна. Принцип неопределённости в квантовой механике. Принципы соответствия. Уравнение Шрёдингера и его связь с задачами классического анализа. Солитоны и псевдодифференциальные операторы. Обратная задача и анализ Фурье. Нелинейное уравнение Шрёдингера и неравенства Стричартса.
10. О некоммутативном гармоническом анализе на примере группы Гейзенберга Теория представлений и спектральная теория. Теорема Стоуна--фон Нейманна. Представления группы Гейзенберга. Алгебры фон Нейманна, факторы и динамические системы алгебраического происхождения.