В весеннем семестре 2004 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
В наступающем семестре основной темой семинара будет квантование на пространствах модулей и пространствах петель, и связанные этим вопросы. Тема навеяна последней книгой А.Н.Тюрина "Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции" с одной стороны, и собственными интересами некоторых участников семинара с другой. Мы рассмотрим следующие вопросы: квантование в вещественной и кэлеровой поляризации на римановых поверхностях, пространствах монодромных представлений, пространствах петель, сигма-моделях; деформационное квантование и некоммутативная геометрия; конформные блоки и некоммутативная теория тэта-функций; гамильтонова теория на пространстве монодромных представлений по Голдмэну и Кричеверу. Планируются участие и доклады А.Городенцева, П.Кацыло, И.Кричевера, С.Ландо, А.Сергеева, М.Шлихенмайера. Наличие главной темы не означает, что не будут появляться доклады и на другие темы.
Пятница, 16 апреля 2004, 17.00, ауд. 206
Продолжение первого доклада А.Г.Сергеева на нашем семинаре (хотя формально данный доклада не зависим от первого). Основное содержание: применить идею твисторного квантования, сформулированную в первом докладе, к геометрическому квантованию пространств петель групп Ли. Для данной группы Ли (в качестве которой может выступать группа сдвигов векторного пространства или простая компактная группа Ли) рассматривается пространство допустимых комплексных структур на пространстве петель этой группы. Над пространством допустимых комплексных структур строится фоковское расслоение, которое обладает естественной связностью, инвариантной относительно действия группы Вирасоро на этом расслоении. Данная связность является плоской в критической размерности (в случае петель в векторном пространстве размерности D это означает, что D=26). Пользуясь этой связностью, удается построить геометрическое квантование пространств петель при указанном ограничении на размерность.
Пятница, 9 апреля 2004, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано о теоретико-полевых скобках Пуассона дифференциально-геометрического типа, их приложениях к нелинейным уравнениям и о различных замечательных математических структурах с ними связанных (алгебрах Каца-Муди, уравнениях ассоциативности и др.).
Пятница, 2 апреля 2004, 17.00, ауд. 206
Доклад посвящен двум сюжетам: квантование Березина-Теплица пространства модулей голоморфных расслоений на римановой поверхности и преобразование Березина. Напомню, что ранее на нашем семинаре излагалось алгебраическое лагранжево квантование того же пространства модулей (А.Городенцев) и квантование в рамках теории Бореля-Вейля-Ботта (М.Финкельберг). Классическая сторона вопроса излагалась И.Кричевером. Все эти подходы тесно связаны с подходом М.Шлихенмайера.
Введение в квантование Березина-Теплица будет дано М.Шлихенмайером в четверг 1 апреля (без шуток!) на семинаре "Глобус".
Пятница, 26 марта 2004, 17.00, ауд. 206
Пространства Гурвица --- это пространства мероморфных функций на комплексных кривых. Геометрия пространств Гурвица (и теории пересечений на них) близка к геометрии пространств модулей комплексных кривых, но в некотором смысле естественнее. А именно, пространства Гурвица имеют естественную стратификацию в соответствии с вырождением функций. Страты образуют набор подмногообразий в каждом из пространств Гурвица, а (дуальные по Пуанкаре) классы когомологий этих подмногообразий порождают в кольце когомологий подкольцо. Доклад посвящен подходу к изучению этого подкольца на основе глобальной теории особенностей, а именно, на основе теории Тома универсальных полиномов, описывающих страты особенностей, и ее обобщении на случаи мультисингулярностей и мультимультисингулярностей. Как показывают вычисления, можно надеяться, что упомянутое выше подкольцо кольца когомологий является сравнительно простым и допускает компактное описание.
Основные приложения эти подкольца когомологий должны найти при вычислении потенциала Громова-Виттена проективной прямой (и, предположительно, более сложных многообразий)
Пятница, 19 марта 2004, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано о разработанном докладчиком универсальном алгебро-геометрическом подходе к построению симплектической структуры на указанных в заглавии пространствах модулей, связанных с римановыми поверхностями. На предыдущих докладах (Финкельберг, Шейнман) говорилось о кантовании на пространствах модулей расслоений. В настоящем докладе это простраство будет расмотрено как классическая система.
Пятница, 12 марта 2004, 17.00, ауд. 206
В докладе будет рассказано о подходе к геометрическому квантованию, основанному на твисторных соображениях.
В стандартном методе Костанта-Сурьо представление алгебры наблюдаемых строится в пространстве голоморфных сечений линейного расслоения над над исходным кэлеровым фазовым многообразием. При этом приходится фиксировать комплексную структуру на многообразии. Это резко сужает границы применимости метода, поскольку канонические преобразования фазового многообразия, вообще говоря, не сохраняют указанную структуру (комплексная структура, в отличие от симплектической, не является "физическим атрибутом" рассматриваемого фазового многообразия).
В нашем подходе предлагается ввести твисторное пространство всех допустимых комплексных структур и переформулировать задачу квантования в его терминах. Основным примером является пространство свободных петель в группе Ли.
Пятница, 5 марта 2004, 17.00, ауд. 206
Reference: Работы Бориса Фейгина и докладчика math.QA/0212001, math.QA/0312158
Abstract: Речь пойдет о максимальных конечномерных представлениях, порожденных "старшим" вектором определенного вида. Оказывается, что эти представления связаны с многомерными аналогами гармонических функций, что особенно интересно для размерности 2 в свете недавних результов М.Хаймана.
Программа-минимум: разобрать следующий пример - токи размерности d со значениями в алгебре Ли sl_2. Модуль вейля веса n имеет размерность:
d = 0 dim = n+1 d = 1 dim = 2^n d = 2 dim = (n+1)-ое число Каталана d > 2 .... есть гипотеза
Далее: планируется обсудить деформацию модулей Вейля над двумерными токами и увидеть на этом языке парковочные функции из конструкции М.Хаймана и их обобщения.
Программа-максимум: Описать индуктивный предел модулей Вейля над двумерными токами в терминах полубесконечных форм.
Пятница, 27 февраля 2004, 17.00, ауд. 206
Бесконечномерный аналог теории Бореля-Вейля-Ботта позволяет установить связь между коинвариантами регулярных подалгебр аффинных алгебр Ли и сечениями канонического линейного расслоения на пространстве модулей главных расслоений на алгебраической кривой. Об этом нам рассказывал на прошлом семинаре М.Финкельберг.
Следуя Тюрину (подход которого восходит к Бовилю), я постараюсь объяснить связь этого линейного расслоения с теорией тета-функций, и тем самым получить третье определение конформных блоков --- как сечений тета-расслоений на римановых поверхностях. Я, также, дам еще одно определение конформных блоков, в терминах метода орбит Кириллова.
Пятница, 20 февраля 2004, 17.00, ауд. 206
Конформные блоки можно определять либо как коинварианты регулярных подалгебр аффинных алгебр Ли, либо как сечения канонического линейного расслоения на пространстве модулей главных расслоений на алгебраической кривой. Доклад посвящен формулировке этих подходов и объяснению их эквивалентности.
Пятница, 13 февраля 2004, 17.00, ауд. 206
Для многообразий Пуассона не существует квантования, функториально зависящего от пуассоновой структуры. Первый выход предложил Концевич (теорема формальности). Оказывается, существует и другой выход: наделить пуассоново многообразие дополнительными структурами, такими как связность, риманова метрика. Тогда квантование, функториально зависящее от структуры, можно построить. В докладе будет рассказано о деформационном квантовании Пуассоновых римановых многообразий в классических дифф.-геометрических терминах, обладающем свойством функториальности. Идея строить квантование, функториально зависящее от многообразия Пуассона с дополнительной структурой, до этого рассматривалась другими авторами. В частности, Федосов построил квантование симплектического многообразия со связностью. Наш подход основан на методе IT-редукции. В докладе я постараюсь объяснить в чем состоит этот метод.
(Абстракт докладчика)
Аналогичную идею использовал В.Овсиенко с соавторами, проквантовав многообразия со структурой группового действия.
(Шейнман)
