На главную страницу НМУ

С.Ю.Немировский

Комплексный анализ

Листки (Exercise sheets).pdf

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf|Листок 5 .pdf|Листок 6 .pdf|Листок 7 .pdf|Листок 8 .pdf]

Программа курса:

1. Комплексные числа. Голоморфные функции. Степенные ряды и их свойства (лемма Абеля, круг сходимости, голоморфность суммы). Экспоненциальная функция и тригонометрические функции.

2. Условия Коши-Римана. Интегральная теорема Коши. Формула Коши. Разложение голоморфной функции в степенной ряд. Неравенства Коши. Теорема Лиувилля. Теорема Мореры. Теорема Вейерштрасса. Лемма Гурса.

3. Теорема Римана об устранимой особенности. Продолжение через гладкую кривую. Изолированные особые точки. Теорема Сохоцкого. Разложение в ряд Лорана. Описание изолированных особых точек в терминах коэффициентов ряда Лорана. Определение мероморфной функции. Кратность нуля и полюса.

4. Теорема единственности. Пучок ростков голоморфных функций. Аналитическая функция и ее риманова поверхность. Неограниченное продолжение и накрытия. Теорема о монодромии в односвязной области. Продолжение первообразной.

5. Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов. Логарифмический вычет. Теорема Руше. Сохранение области. Принцип максимума. Однолистные функции. Теорема Гурвица о последовательностях однолистных функций.

6. Теорема Монтеля (принцип компактности). Теорема Римана о конформном отображении.

7. Теорема Каратеодори для областей с простой границей. Принцип симметрии. Аналитическая функция, обратная к модулярной. Малая теорема Пикара.

8. Лемма Шварца. Неувеличение гиперболического расстояния при голоморфных отображениях. Большая теорема Пикара.

9. Элементарные свойства голоморфных функций нескольких переменных. Теорема Хартогса об устранении компактных особенностей. Принцип максимума и лемма Шварца для отображений. Биголоморфная неэквивалентность шара и полидиска.