Алексей Викторович Пенской

Дополнительные главы геометрии

Ссылка на плейлист YouTube
Ссылка на плейлист RuTube

Листки

[ листок 1 | листок 2 | листок 3 | листок 4 ]
[ листок 5 | листок 6 ]

В курсе будут рассмотрены некоторые применения векторных расслоений и характеристических классов. Данный курс задуман как продолжение курса дифференциальной геометрии.

Лекции будут проходить онлайн. Для получения ссылки для входа в зум необходимо связаться с лектором.

Программа курса

0. Краткое напоминание: векторные расслоения и конструкция Чженя-Вейля характеристических классов, образующие У.

1. Начала K-теории: группа Гротендика абелевой полугруппы с единицей, К-группа многообразия, К-группа с компактным носителем, характер Чженя с компактным носителем.

2. Дифференциальные операторы на сечениях векторных расслоений. Символ оператора. Эллиптические операторы. Топологический и аналитический индекс оператора. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства). Пример: оператор d+d^*, теорема Гаусса-Бонне и теорема Хирцебруха как следствия теоремы Атьи-Зингера.

3. Алгебра Клиффорда, спиноры и спинорная структура. Оператор Дирака, функционал Зайберга-Виттена.

4. Гармонические формы. Теорема Ходжа.

Если позволит время:

5. Электромагнитное поле, калибровочные поля и связности в расслоениях. Уравнение и функционал Янга-Миллса, инстантоны. Связь с характеристическими классами. Функционалы Чженя-Саймонса, Ландау-Гинзбурга.

6. Группы голономии.