В осеннем семестре 2004 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Семинар уходит на каникулы. До встречи в весеннем семестре 2005 года!
Пятница, 10 декабря 2004, 17.00, ауд. 206
Я попробую популярно рассказать, что общего у алгебраических кривых с числовыми полями. После этого, я расскажу, как ставить асимптотические задачи, т.е. что такое "кривая бесконечного рода" и соответствующий ей числовой объект.
Пятница, 3 декабря 2004, 17.00, ауд. 206
Я расскажу о том, как избавиться от координат, ограничивая формализм Дубровина на дивизориальное направление. Мы обсудим дифференциальные уравнения на торах, и я сформулирую гипотезу о гипергеометрических подъемах.
Пятница, 26 ноября 2004, 17.00, ауд. 206
В серии работ 1984-86 гг M.Goldman ввел симплектическую структуру и рассмотрел интегрируемую систему на пространстве, указанном в названии доклада (называемом также пространством представлений монодромии). В 1992 Jeffrey и Weitsman рассмотрели поляризацию, определенную гамильтонианами Голдмэна, и свойства потоков системы Голдмэна в связи с этой поляризацией. Конечным результатом их работы явился подсчет числа целочисленных слоев поляризации (слои Бора-Зоммерфельда), и доказательство его совпадения с числом Верлинде. В 2001 И.Кричевер ввел еще одну (другую?) симплектическую структуру и набор гамильтонианов в инволюции на аналогичном пространстве, но без требования унитарности и ограничения размерности представлений. На пространстве 2-мерных представлений эти гамильтонианы также определяют интегрируемую систему. Связь между системами Голдмэна и Кричевера не вполне ясна, по крайней мере мне. Выяснение этой связи было бы крайне полезно.
Доклад в основном посвящен красивой симплектической геометрии, содержащейся в работе Jeffrey-Weitsman, и свойствам траекторий системы Голдмэна. Для сравнения я, также, постараюсь сформулировать часть результатов Кричевера.
Пятница, 19 ноября 2004, 17.00, ауд. 206
Пространства модулей алгебраических кривых и тесно связанные с ними пространства Гурвица — пространства мероморфных функций, — появляются естественным образом во многих задачах алгебраической геометрии и математической физики, в особенности в связи с теорией струн и теорией инвариантов Громова-Виттена. К изучению геометрии и топологии этих пространств сводится, в частности, классическая задача Гурвица о вычислении количества топологически различных разветвленных накрытий над сферой с предписанными типами ветвлений. Кольца когомологий этих пространств довольно сложны даже в простейшем случае рациональных кривых и функций. Тем не менее, наиболее важные с точки зрения приложений когомологические классы, двойственные по Пуанкаре стратам функций с фиксированными особенностями, выражаются в терминах относительно простого набора "основных" (в некотором смысле, тавтологических) классов. Цель данной статьи — выделить эти основные классы, описать соотношения между ними, и найти выражения для стратов в терминах этих классов. Наш подход основан на теории Тома универсальных многочленов особенностей, которая распространена на случай мультиособенностей в работах первого автора. Хотя задача Гурвица в полном объеме все еще не решена, данный подход позволил существенно продвинуться в ее решении, а также в понимании геометрии и топологии пространств Гурвица.
Эта совместная статья возникла из жестоких споров двух довольно далеких точек зрения на предмет. Со временем наши позиции с Сергеем сильно сблизились (к некоторому сожалению, поскольку наши споры были очень интересными и продуктивными). Причина сближения мнений заключается в том, что истина все же одна, и мы, как нам кажется, довольно близко к ней подобрались. В своем докладе я буду делать упор на глобальной теории особенностей (теории многочленов Тома), а задача Гурвица будет одним из ярких примеров применения этой теории.
Пятница, 12 ноября 2004, 17.00, ауд. 206
До известной степени этот доклад можно рассматривать как продолжение доклада Ю.М.Бурмана (29 октября). Речь пойдет о двух недавних работах Гордона и Стаффорда (RA/0407516, RT/0410293), в которых, в частности, доказана гипотеза Береста-Гинзбурга-Этингофа (RT/0208138) о [би-]характерах векторных пространств, получающихся из конечномерных представлений (сферической подалгебры) алгебры Чередника взятием присоединённых градуированных. Эти пространства отождествляются с пространствами глобальных сечений некоторых замечательных расслоений на схеме Гильберта; как следствие, их характеры оказываются $q,t$-числами Каталана и "высшими числами Каталана" из работ М.Хаймана о схеме Гильберта.
Мой интерес к этому мотивирован другой конструкцией, позволяющей (гипотетически) получать [высшие] $q,t$-числа Каталана из соображений теории представлений. Они (как и в описанной выше ситуации) возникают как характеры присоединённых градуированных к пространствам с градуировкой и фильтрацией. Если останется время, я попробую вкратце рассказать и про это.
Пятница, 5 ноября 2004, 17.00, ауд. 206
Класс симплектическикх особенностей алгебраическикх и/или комплексныкх мнообразий выделил некоторое время назад А.Бовиль: грубо говоря, рассматриваются комплексные многообразия, у которых на гладкой части задана голоморфная симплектическая форма, и предписано ее поведение в особенностякх. Оказывается, этот класс весьма разумен: с одной стороны, есть много примеров, с другой стороны, структура достаточно жесткая, и как выясняется, она накладывает сильные ограничения на геометрию особенности. На докладе будет дан общий обзор: какие бывают примеры, какие факты верны, что желательно было бы доказать. Мы также коснемся связи с т.н. соответствием Маккея (McKay correspondence).
Пятница, 29 октября 2004, 17.00, ауд. 206
Пусть G --- группа Коксетера ранга \ell. Алгебра Чередника это деформация алгебры дифференциальных операторов на C^\ell; в качестве параметра деформации берется функция c на множестве положительных корней группы G, инвариантная относительно сопряжения: c(wsw^{-1}) = c(s).
В докладе будет рассказано о теории представлений алгебры Чередника --- описаны аналоги модулей Верма ("стандартные модули") и исследован вопрос об их неприводимости. Для диэдральной группы в случае, когда стандартный модуль приводим, мы подробно опишем его подмодули и выясним, при каких значения параметра деформации алгебра Чередника имеет конечномерные представления.
Кроме того, мы опишем инвариантные дифференциальные операторы на стандартном модуле (они связаны с системой Калоджеро--Мозера), их ядра и порожденные ими идеалы.
Доклад основан на совместной работе А.Беренштейна и докладчика, а также на более ранних работах Береста--Гинзбурга--Этингофа и Т.Чмутовой.
Пятница, 22 октября 2004, 17.00, ауд. 206
A new approach to the analytic theory of difference equations with rational and elliptic coefficients is proposed. It is based on the construction of canonical meromorphic solutions which are analytical along "thick paths". The concept of such solutions leads to the notion of local monodromies of difference equations. It is shown that in the continuous limit they converge to the monodromy matrices of differential equations. New type of isomonodromic deformations of difference equations with elliptic coefficients changing the periods of elliptic curves is constructed.
Пятница, 15 октября 2004, 17.00, ауд. 206
Пусть Y — компактная риманова поверхность. Оператор Лапласа-Бельтрами на ней неотрицательно определен, и его спектр дискретен. Собственные функции этого оператора называются в теории автоморфных форм формами Маасса. Я расскажу о двух задачах, связанных с этими объектами. Первая — это знаменитая гипотеза Сельберга, оценивающая снизу первое положительное собственное число оператора Лапласа.
Вторая, в известной степени мотивирующаяся гипотезой Сельберга, но более связанная с теорией автоморфных L-функций, состоит в том, чтобы получить оценки на периоды форм Маасса. Я расскажу о работах И.Н. Бернштейна и А.Б.Резникова на эту тему.
Их основной результат таков. Зафиксируем две формы Маасса $\phi, \phi^{\prime}$. Зафиксируем базис $\{\phi_i\}$ из форм Маасса, отвечающих каждому собственному значению $\lambda_i$. Тогда интеграл
c_i=\int_Y \phi \phi^{\prime}\phi_i dv
экспоненциально убывает как функция от $\lambda_i$.
Доказательство этой теоремы использует теоию представлений.
Пятница, 8 октября 2004, 17.00, ауд. 206
Вводный обзорный доклад.
Будет дано два определения стандартного ассоциатора Дринфельда: как решения формального уравнения Книжника-Замолодчикова с коэффициентами в алгебре хордовых диаграмм и как нормализованного интеграла Концевича от ассоциаторной связки — и объяснена их эквивалентность.
Помимо этого, я надеюсь дать аксиоматические определение общего ассоциатора, описать класс всех ассоциаторов в терминах действия группы скручиваний и объяснить применение произвольных ассоциаторов для комбинаторного вычисления интеграла Концевича.
Пятница, 1 октября 2004, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано о простейших свойствах фуксовых линейных мероморфных пфаффовых систем в n-мерном комплексном пространстве, с особенностями на конечных конфигурациях гиперплоскостей. Уравнения Книжника-Замолодчикова (KZ) входят в этот класс систем. Будут рассмотрены коксетеровские аналоги уравнений KZ, отвечающие зеркалам коксетеровских групп. Будет дано описание различных типов KZ уравнений, в частности систем Чередника, и их связей с операторами Калоджеро-Бернарда-Сазерленда-Мозера.
Пятница, 24 сентября 2004, 17.00, ауд. 206
При целых значениях параметров операторы Калоджеро-Мозера, связанные с системами Кокстера, могут быть включены в достаточно большие и интересные коммутативные кольца дифференциальных операторов. Возникающие при этом конструкции (квазиинварианты, многомерные функции Бейкера-Ахиезера) обобщаются на некоторые специальные некокстеровские конфигурации гиперплоскостей. Я приведу примеры таких конфигураций и известные общие утверждения о них. Также я надеюсь коснуться кокстеровских и некокстеровских решений обобщенных уравнений WDVV. Доклад основан на работах Веселова, Чалых и автора.
For integer parameters the Calogero-Moser operators related to Coxeter systems can be included into large and interesting rings of commuting differential operators. Appearing constructions (quasi-invariants, multidimensional Baker-Akhiezer functions) can be generalized to some special non-Coxeter configurations of hyperplanes. I will present examples of such configurations as well as known general statements about them. Also I hope to mention Coxeter and non-Coxeter solutions to the generalized WDVV equations. The talk is based on the papers by Veselov, Chalykh, and the author.
Пятница, 17 сентября 2004, 17.00, ауд. 206
Продолжение предыдущего доклада. Основной результат — квантование модели Годена будет сформулировано в окончательном, независимом от предыстории виде. Будут введены G-оперы и описаны спектры квантовых гамильтонианов.
Пятница, 10 сентября 2004, 17.00, ауд. 206
Предполагается, что доклад будет продолжен 17 сентября. См. ниже абстракт по-английски.
We exploit the known commutative family in Y(gl(n)) - the Bethe subalgebra - and its special limit to construct quantization of the Gaudin integrable system. We give explicit expressions for quantum hamiltonians QI_k(u), k=1,..., n. At small order k=1,\ldots,3 they coincide with the quasiclassic ones, even in the case k=4 we obtain quantum correction.
The eigenproblem of the quantum Gaudin model in the general gl(n) situation. There is a well-known result due to Frenkel which attributes to any eigenvector of quantum Gaudin hamiltonians in the case of sl(2) a so-called G-oper which has regular singularities and has no monodromy. We prove this result in full generality using the recent result of hep-th/0404153 where the complete family of quantum Gaudin hamiltonians is explicitely constructed and considering the analytic properties of the Universal G-oper playing the role of quantum characteristic polynomial.
The talk is supposed to be continued on September, 17th.