Алексей Елагин

Введение в гомологическую алгебру

Экзамен

Экзамен письменный домашний. Решения задач рекомендуется записывать ясно, понятно и полностью (но без ненужных подробностей). Можно пользоваться фактами, сформулированными в листках (в т.ч. задачами, если это не противоречит здравому смыслу), прочие факты нужно объяснять.
Работы сдавать до 21.01.2011 включительно в учебную часть. Учебная часть после 10 января работает по средам, четвергам и пятницам с 14:00 до 18:00.
Вопросы можно задать, написав письмо по адресу alexelagin@rambler.ru.

[Экзамен.pdf ]

Листки (Exercise sheets)

Примерная программа курса

1. Комплексы и когомологии.: Комплексы. Морфизмы комплексов. Точные последовательности. Длинная точная последовательность когомологий. Гомотопии. Конус морфизма. Примеры вычисления когомологий.
2. Категории и функторы.: Представимые функторы, лемма Йонеды. Точные функторы, точные слева и справа функторы. Функторы гомоморфизмов и тензорного умножения. Проективные и инъективные объекты.
3. Классические производные функторы.: Проективные и инъективные резольвенты, их свойства. Производные функторы - явная конструкция. Длинная точная последовательность производных функторов. Дельта-функтор. Аксиоматическое определение производных функторов, его равносильность явному. Вычисление производных функторов при помощи ациклических резольвент.
4. Примеры и применения производных функторов.: Проективные и инъективные модули над кольцом, их свойства. Функторы Ext и Tor. Проективная и инъективная размерность модуля. Глобальная размерность кольца. Кольца глобальной размерности 0 и 1. Сравнение комплекса и его когомологий. Эквивалентность определений Ext и Tor по двум аргументам. Ext^1 и расширения. Tor и кручение. Tor и кратность пересечения.
5. Абелевы категории.: Аддитивные категории и функторы. Ядра и коядра. Абелевы категории, точные функторы. Сопряжённые функторы. Эквивалентности и строго полные функторы. Расслоенные и корасслоенные произведения. Диаграммный поиск и язык стрелок.
6. Производная категория.: Категория комплексов. Гомотопическая категория комплексов. Квазиизоморфизмы. Универсальное свойство. Локализация категорий. Арифметика дробей. Условия Оре. Категория домиков. Проверка условий Оре для гомотопической категории. Производная категория как локализация гомотопической.
7. Триангулированные категории.: Выделенные треугольники в гомотопической категории, их свойства. Длинные точные последовательности в когомологиях. Аксиомы триангулированной категории и их следствия. Проверка аксиом для гомотопической категории. Точные функторы. Локализация триангулированных категорий. Производная категория триангулированна.
8. Морфизмы в производной категории.: Локализация и факторизация триангулированных категорий. Ацикличные комплексы. Проективные и инъективные резольвенты как сопряжённые функторы к проекции. Полуортогональные разложения. Случай неограниченных производных категорий. Абелева категория как категория 0-комплексов. Группы Ext как морфизмы между i-комплексами. Ext по Йонеде. Умножение в Ext.
9. Производный функтор.: Определения производного функтора явное и аксиоматическое. Локализация функтора, условия её существования. Построение производного функтора с помощью проективных и инъективных резольвент. Построение производного функтора с помощью ацикличных резольвент. Связь с классическими производными функторами. Производный функтор композиции.