На главную страницу НМУ

Алексей Зыкин

Дополнительные главы теории чисел

Экзамен

[Экзаменационное задание . pdf]

Задачи к курсу (Problems. pdf):

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf|Листок 5 .pdf|Листок 6 .pdf]

Программа курса:

1. Эллиптические кривые.

   Напоминания из теории кривых.
   Геометрические свойства эллиптических кривых. Изогении, модуль Тейта, спаривание Вейля.
   Эллиптические кривые над C и решетки.
   Эллиптические кривые над конечными полями, суперсингулярные эллиптические кривые.
   Формальные группы и эллиптические кривые.
   Когомологии Галуа, высоты и теорема Морделла-Вейля.
   L-функции эллиптических кривых, гипотеза Таниямы-Вейля.

2. Модулярные формы - базовые свойства.

   Эллиптические функции, j-инвариант.
   Алгебра модулярных форм относительно SL_2(Z).
   Дельта функция, число разбиений, сумма четырех квадратов.
   L-функции модулярных форм, функциональное уравнение.
   Операторы Гекке и эйлерово произведение.
   Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп - набросок теории.

3. Аналитические методы в алгебраической теории чисел.

   Распределение простых чисел и дзета-функция Римана.
   Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.
   Функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда и формула для вычета.

4. Локальные и глобальные поля.

   Нормирования полей алгебраических чисел.
   Анализ в p-адических полях.
   Разложение на простые идеалы и пополненные локальные кольца.
   Дифферента и ветвление.
   Круговые поля.
   Идели и адели.
   Модулярные формы и адели.

5. Основы теории полей классов.

   Формулировки основных результатов.
   Приложения: гильбертово поле классов и разложение простых, квадратичные формы и принцип Хассе, центральные простые алгебры.
   Эллиптические кривые с комплексным умножением - формулировки результатов.

6. Кривые над конечными полями.

   Аналогия числовые поля - функциональные поля.
   Геометрия кривых над конечными полями.
   Гипотеза Римана для кривых над конечными полями.
   Проблема нахождения максимального числа точек на кривых над конечным полем.

Литература.

1. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. «Теория чисел». - М.: Наука, 1985.

2. Beйль А. «Основы теории чисел». - М.: Едиториал УРСС, 2004.

3. Влэдуц С. Г., Ногин Д. Ю., Цфасман М. А.. «Алгеброгеометрические коды. Основные понятия». - М.: МЦНМО, 2003г.

4. Кнапп Э. «Эллиптические кривые». - М.: Факториал Пресс, 2004.

5. Коблиц Н. «p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции». - М.: Мир, 1982.

6. Ленг С. «Алгебраические числа». - М.: Мир, 1972.

7. Ленг С. «Введение в теорию модулярных форм». - М.: Мир, 1979.

8. Карацуба А.Л. «Основы аналитической теории чисел». - М.: Наука, 1983. -240с.

9. Касселс Дж., Фрёлих А. (ред.) «Алгебраическая теория чисел». - М.: Мир, 1969.

10. Манин Ю. И., Панчишкин А. А. «Введение в современную теорию чисел». - М.: МЦНМО, 2009.

11. Серр Ж.-П. «Курс арифметики». - М.: Мир, 1972.

12. Cox D., Primes of the form x2 + ny2, Pure and Appl. Math., Wiley, 1989.

13. Newman D.J. «Analytic Number Theory», Springer-Verlag, GTM 177, 1998.

14. Silverman J. «The Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 106, 1986.

15. Silverman J. «Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves», Springer-Verlag, GTM 151, 1995.