[Лекция 1 (95K)|Лекция 2 (79K)|Лекция 3 (119K)
Лекция 4 (82K)|Лекция 6 (75K)|Лекция 7 (98K)]
[Лекция 1 (95 K)|Лекция 2 (80 K)|Лекция 3 (119 K)
Лекция 4 (82 K)|Лекция 6 (75 K)|Лекция 7 (98 K)]
Полилинейные отображения. Тензорное произведение векторных пространств и модулей. Тензорное произведения операторов. Двойственность между n-ой тензорной степенью векторного пространства и n-ой тензорной степенью двойственного (полилинейные формы как тензоры) Свертки. Стандартные канонические изоморфизмы типа U^*\otimes V^*\otimes W=Hom(U\otimes V,W)=Hom(V,Hom(U,W)) (линейные операторы как тензоры).
Отыскание базисов и размерностей тензорных произведений; вычисление тензорных произведений и сверток полилинейных форм и операторов; жорданова нормальная форма тензорной степени оператора; умение по-разному интерпретировать один и тот же тензор посредством канонических изоморфизмов.
Симметрическая алгебра как фактор тензорной алгебры и как подпространсто (в характеристике 0) тензорной алгебры. Симметрическое произведение и симметризация. Отождествление S^n(V^*)=(S^n(V))^* с симметрическими n-линейными формами на V и с однородными полиномами степени n на V (полная поляризация однородного многочлена). Свертки, дифференцирования и поляры симметричных форм, формула Тейлора и ее геметрический смысл. Порождаемость S^n(V) чистыми степенями вида v^{\otimes n} (принцип Аронгольда).
Переходы между стандартными базисами в пространстве симметричных n-линеных форм на V, пространстве однородных многочленов степени n на V и пространстве S^n(V^*): умение вычислять симметрические произведения и свертки в терминах этих базисов; вычисление поляризаций; жордановы нормальная форма симметрической степени линейного оператора.
Внешняя алгебра как фактор тензорной алгебры и как подпространсто (в характеристике 0) тензорной алгебры. Внешнее произведение и альтернирование. Отождествление \Lambda^k(V^*)=(\Lambda^k(V))^* с косыми k-линейными формами на V и с грассмановыми полиномами степени k на V. Свертки, кососимметричных форм, спаривание
\Lambda^kV\otimes\Lambda^{n-k}V\longrightarrow\Lambda^n V
Внешние
степени операторов и матриц, миноры и соотношения Лапласа. Критерии
разложимости поливектора.
Переходы между стандартными базисами в пространстве кососимметричных k-линеных форм на V, пространстве однородных грассмановых многочленов степени k на V и пространстве \Lambda^n(V^*): умение вычислять внешние произведения и свертки в терминах этих базисов; жордановы нормальная форма симметрической степени линейного оператора.
Проективные пространства и грассманианианы. Аффинные карты и функции перехода. Проективные преобразования. Клеточное разбиение. Число точек над конечным полем и Гауссовы биномиальные коэффициенты. Отображение Веронезе. Отображение Сегре. Отображение Плюккера. Классификация и внутренняя геометрия комплексных проективных квадрик. Взаимодействие квадрик Веронезе, Сегре и Плюккера в P_2, P_3 и P_5. Квадрика Плюккера в P_5 как многообразие прямых в P_3. Геометрическая интерпретация циклов Шуберта на G(2,4) в терминах прямых в P_3. Пересечение клеток Шуберта на G(2,4).
Размерность грассманиана, число точек грассманиана над конечным полем, размерности клеток, квадрика Веронезе в P_2, квадрика Сегре в P_3, сколько плоских коник касается пяти данных прямых на P_2, геометрия коник и гомографий, гексограмма Паскаля и построения Штейнера; чем изобразятся на квадрике Плюккера два семейства прямолиненых образующих невырожденной квадрики в P_3; какую фигуру заметут в P_3 все прямые, пересекающие каждую их трех данных; сколько прямых пересекает четыре заданных попарно скрещивающихся прямых в (нашем обычном) пространстве и т. п.
Группы Ли и алгебраические группы. Классические матричные группы GL, SL, SO, Sp, SU. Алгебра Ли группы Ли. Подгруппы и подалгебры Ли в пространстве комплексных 2x2 - матриц. Кватернионы. Топологическое строение групп SO_3, SO_4, SU_2. Накрытия SU_2\to SO_3 и SU_2\times SU_2\to SO_4. Спинорное разложение четырехмерного евклидова пространства. Звездочка Ходжа и разложение \Lambda^2(C\otimes R^4).
Описание алгебр Ли групп GL, SL, SO, SU, строение (и простота) этих групп в размерностях <4, связь между операциями на группе и в алгебре Ли, дифференциал сопряжения, дифференциал детерминанта, вычисление экспонент от матриц и анализ экспоненциального отображения, отождествление SU_2 с единичными кватернионами, SL_2(C) как комплексификация $SU_2$. спинорные представления SO_3, разложение бивекторов четырехмерного пространства на авто- и антиавтодуальные.
Представления множества операторов, приводимость, разложимость, полупростота и гомомоморфизмы представлений. Представления ассоциативных алгебр, групп, групп Ли и алгебр Ли. Представления одного оператора. Диагонализуемость операторов, представляющих конечную группу. Простые модули и лемма Шура. Критерии полупростоты. Кольцо R-эндоморфизмов полупростого R-модуля. Двойственность \End_{\End_A(M)}(M)= A. Теорема Бернсайда. Представления множеств коммутирующих операторов и конечных абелевых групп.
Примеры на использование леммы Шура и задание гомоморфизмов U^{\oplus m}\to V^{\oplus n} матрицами над Hom(U,V), следное скалярное произведение на End(V), след оператора умножения на матрицу, полупростые Z-модули, двойственность между действиями GL(V) и S_n на V^{\otimes n}, примеры на вычисление характеров и двойственность Понтрягина для абелевых грпп.
Усреднение по группе и полная приводимость представлений. Тензорные операции над представлениями. Групповая алгебра и алгебра функций на группеб свертки. Регулярные представления и следное скалярное произведение. Теорема Машке о разложении групповой алгебры в сумму матричных алгебр. Центр групповой алгебры. Матричные элементы неприводимых представлений и соотношения ортогональности. Базисные идемпотенты и характеры. Техника вычисления характеров и исследования представлений с помощью характеров. Тензорное произведение левого и правлого модулей над ассоциативной алгеброй. Ограничение и индуцирование модулей. Различные описания структуры ндуцированного представления. Двойственность Фробениуса. Кольцо представлений.
Умение вычислять характер данного представления и раскладывать его на неприводимые; умение раскладывать оператор, коммутирующий с действием группы, в прямую сумму гомотетий; знание неприводимых представлений и классов сопряженности для "маленьких" групп (S_n и A_n с n<6, SL_n(Z/pZ) при $n,p<4, групп многогранников, диедров); характеры внешних степеней канонического представления S_n самосовмещениями (n-1)-мерного симплекса; умение вычислять характеры ограниченных и индуцированных представлений и раскладывать их на неприводимые; понимание конструкции индуцирования.
$\mathfrak S_n$-инвариантные эндоморфизмы $V^{\otimes n}$ и $GL(V)$-инвариантные эндоморфизмы $V^{\otimes n}$: соответствие между неприводимыми представлениями симметрических и линейных групп. Тип симметрии тензора. Симметризаторы Юнга. Перечисление неприодимых представлений $\mathfrak S_n$. \п представление о том, что кроме $S^n$ и $\Lambda^n$ бывают и другие полиномиальные функторы, взаимно-однозначно соответствующие диаграммам Юнга: поведение неприводимых представлений симметрической группы при ограничении (индуцировании) на меньшую (большую) симметрическую группу хотя бы для S_n с n<6.
