[1993|1994|1995|1996|1997|1998|More recent]
Вступительный
экзамен в аспирантуру
19 сентября 1993 года
[Postscript (53K)|Zipped postscript (15K)]
1. Вычислить $\int\limits_0^\infty \frac{e^{-10t}}{1+t}\,dt$ с относительной погрешностью не более 5 процентов.
2. Найти все решения дифференциального уравнения $x''+x=\delta(t-1)$.
3. 3. Группа $G$ всех целочисленных векторов на плоскости относительно сложения содержит подгруппу $H$, состоящую из векторов с четными координатами, сумма которых делится на 12. (а) Найти порядок факторгруппы $G/H$. (б) Найти разложение факторгруппы $G/H$ в прямую сумму циклических групп.
4. Отображение $f: C \to C$ задано формулой $f(x)=\frac{4}{3^{3/4}}z^3-z^4$. Нарисовать на комплексной прямой прообраз отрезка $[0,1]$ при этом отображении.
5. Существует ли конформное отображение квадрата на прямоугольник, переводящее вершины в вершины?
6. Вычислить относительные гомологии с коэффициентами в $\mathbb{R}$ множества $F^{-1}(-\infty, 100]$ по модулю множества $F^{-1}(-\infty, -100]$ для функции $F: R^3 \to R$, заданной формулой $F(x,y,z)= x^3+y^3+z^3-5yz$.
7. Найти норму функционала $I_\alpha\colon L_p[0,1] \to R$, заданного формулой $$ I_\alpha(f)=\int_0^1 x^\alpha f(x)\,dx. $$
8. При каких $\alpha$ функция $x^6+y^6+x^2y^2 + \alpha xy^4+xy^6$ на вещественной плоскости имеет в начале координат точку минимума?
9. Исследовать поведение при $t\to \infty$ решений системы
\dot x =y, \dot y = 2 \sin y - y - x.
10. В пространстве многочленов степени не выше $7$ над полем характеристики $2$ действует оператор сдвига $p(x) \mapsto p(x+1)$. Найти жорданову нормальную форму этого оператора.
Вступительный
экзамен в аспирантуру
2 октября 1994 года
[Postscript (41K)|Zipped postscript (12K)]
1. Пусть $A:\R^n\to\R^n$ - симметрический оператор без кратных
собственных чисел. Докажите, что поверхности
$$
((A-\lambda E)^{-1}x,x)=1,
$$
проходящие через данную точку $x_0$ и соответствующие различным
значениям параметра $\lambda$, попарно ортогональны.
2. а) Постройте для многочлена $f(x)=x^2-x^3$
такой дифференциальный оператор
$P(x,n)=p_0(x,n)+p_1(x,n)\frac{d}{dx}
+\dots+p_k(x,n)\frac{d^k}{dx^k}$ и такой ненулувой многочлен
$b=b(n)$, что
$$
P\circ f^n=b(n)f^{n-1};
$$
б) Выберите $P$ и $b$ так, чтобы степень $b$ была наименьшей.
3. Две точки на плоскости на расстоянии $1$ друг от друга соединены $4$-звенной ломаной, каждое из звеньев которой имеет длину $l > 1/4$. Докажите, что существует такое число $a$, что при $l < a$ пространство возможных положений ломаной гомеоморфно сфере, а при $l > a$ - тору.
3. $F(x,y)=x^4-5x^2y^3+y^6$. Доказать, что у векторного поля $\grad F$ существует непрерывная траектория, выходящая из множества $F^{-1}(1)$ и входящая в точку $0$. Сколько непрерывных производных в точке $0$ может иметь такая траектория?
4. Каков спектр оператора сдвига $T:\{x_n\}\mapsto\{x_{n+1}\}$
а) в пространстве двусторонних последовательностей $n\in\Z$;
б) в пространстве односторонних последовательностей $n\ge 1$?
5. При каких значениях $n$ и $k$ в пространстве $\R^n$ можно задать неориентируемое многообразие как поверхность уровня $f_1=f_2=\dots = f_k=0$, где $f_i:\R^n\to\R$ -- гладкие функции?
6. Докажите, что величина телесного угла, опирающегося на данный замкнутый контур - гармоническая вне контура функция вершины угла.
7. Найдите группу симметрии уравнения
$\Delta u= \sin x+\sin y+\sin z.$
Вступительный
экзамен в аспирантуру
1 октября 1995 года
[Postscript (43K)|Zipped postscript (12K)]
1. Линейное уравнение $x=Ax+f,\quad x,f\in \R^n;A\in\Mat_n(\R)$ решается последовательностью итераций $x_{n+1}=Ax_n+f$. Докажите, что если все собственные числа матрицы $A$ равны нулю, то при любом начальном условии $x_0\in \R^n$ решение уравнения можно получить за конечное число итераций.
2. Три прямые в $\R^3$ находятся в общем положении (т.е. никакие две из них не лежат в одной плоскости, и не существует плоскости параллельной всем трем прямым). Найдите число прямых, пересекающих все три выбранные прямые.
3. Опишите структуру кольца в пространстве когомологий де Рама трехмерного тора $H^*(\T^3,\R)$.
4. Найдите объем кривой Ферма $x_1^n+x_2^n+x_3^n=0$ в $\CP^2$
относительно метрики, заданной формулой
$$
ds^2=\frac{\sum_{i=1}^3|dx_i|^2}{1+|x|^2}-\left|\sum_{i=1}^3\frac{dx_i}
{1+|x|^2}\right|^2.
$$
5. Найдите индекс особой точки $0$ векторного поля $\grad f,\quad f(x,y)=x^4-x^2y^2+y^5$.
6. На $\R^6$ группа $S_3$ перестановок из трех элементов действует следующим образом. Элементы базиса в $\R^6$ занумерованы элементами группы $S_3$, и каждый элемент группы $S_3$ действует на номере базисного вектора умножением слева. Разложите пространство $\R^6$ на неприводимые подпространства относительно этого действия.
7. Существует ли непрерывная функция $\phi:\C^1\to \C^1$, такая
что всюду в единичном круге
$$
|\phi(z)-\sqrt{z}|\le\frac\pi4?
$$
8. Пусть $P=P(z)$ -- комплексный многочлен от одной переменной. Докажите, что все корни его производной $P'(z)$ лежат в выпуклой оболочке корней многочлена $P$.
9. Существуют ли две функции $S^1\to\R$, такие, что для любых двух точек $x_1,x_2\in S^1$ и любых двух чисел $a_1,a_2\in\R$ существует линейная комбинация этих функций, равная $a_1$ в точке $x_1$ и $a_2$ в точке $x_2$? Ответьте на тот же вопрос для случая трех функций и трех точек.
10. Вычислите интеграл Гаусса
$$
\int\int\frac{(dx,dy,x-y)}{|x-y|^3},
$$
где точка $x$ пробегает кривую $x_1=\cos\alpha,x_2=\sin\alpha,
x_3=0$, а точка $y$ -- кривую $x_1=2\cos^2\beta,x_2=\frac12\sin\beta,
x_3=\sin 2\beta$.
Вступительный
экзамен в аспирантуру
22 октября 1996 года
[Postscript (41K)|Zipped postscript (12K)]
1. На плоскости расположено несколько попарно непараллельных прямых. Найдите их число, если известно, что число двойных точек их пересечения равно $\alpha_2$, число тройных точек равно $\alpha_3$, \dots, число точек $n$-кратного пересечения равно $\alpha_n$.
2. Найдите третий ненулевой член асимптотики в разложении $y$ как функции от $x$ в окрестности нуля для $x$ и $y$ связанных уравнением $x^5+x^2y^2=y^6$.
3. Опишите все целые функции $f$ одной комплексной переменной, обладающие свойством: $|f(z)|$ зависит только от $|z|$.
4. Пересекаются ли в одной точке а) медианы; б) высоты треугольника на плоскости Лобачевского?
5. Найдите все точки в ${\bf R}^3$, через которые нельзя провести двумерную поверхность, касающуюся пары векторных полей
v_1 = (xy,z^2-x^2,-yz); v_2 = (yz,x(z-y),-xy).
6. Найдите сумму ряда $\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ как обобщенную функцию на прямой.
7. Пусть $p=p(x)$ --- вещественный многочлен степени $n$ от одной переменной. Найдите когомологии комплекса де Рама, в котором $0$-формы --- это функции на прямой вида $f(x)e^{p(x)}$, а $1$-формы имеют вид $f(x)e^{p(x)}dx$, $f\in {\bf R}[x]$.
8. Гладкая замкнутая комплексная кривая называется гиперэллиптической, если она изоморфна кривой в $\CP^1\times\CP^1$, задаваемой уравнением $y^2=p(x)$, где $p$ --- многочлен с различными корнями. Какова размерность пространства гиперэллиптических кривых рода $g$?
9. Пусть ${\cal B}_2$ --- линейное пространство билинейных форм на ${\bf C}^2$. Группа $\GL(2,{\bf C})$ действует на ${\cal B}_2$ по правилу: $(Af)(x,y)=f(A^{-1}x,A^{-1}y)$, где $A\in \GL(2,{\bf C}), f\in{\cal B}_2$. Опишите инвариантные подпространства этого действия.
10. Матрица размером $n\times n$ вида
/ 0 0 0 ... 0 a_0 \
| 1 0 0 ... 0 a_1 |
| 0 1 0 ... 0 a_2 |
| .............. |
\ 0 0 0 ... 1 a_{n-1} /
называется циклическим блоком. Пусть матрица $C$ имеет вид
/ A 0 \
C=| |
\ 0 B /
где матрицы $A$ и $B$ --- циклические блоки и их
характеристические многочлены взаимно просты. Докажите,
что в некотором базисе матрица $C$ является циклическим блоком.
Вступительный
экзамен в аспирантуру
28 апреля 1997 года
[Postscript (39K)|Zipped postscript (12K)]
1. Опишите поверхность тела, получаемого вращением трехмерного куба вокруг его главной диагонали.
2. Пусть $A$ --- вещественная квадратная матрица. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
3. Докажите, что всякая группа порядка, большего 2, имеет нетривиальный автоморфизм.
4. Вычислите площадь поверхности единичного шара в ${\bf R}^n$.
5. Частица, блуждающая по целым точкам полуоси $x\ge 0$, с вероятностью $a$ сдвигается на 1 вправо, с вероятностью $b$ --- на 1 влево, в остальных случаях остается на месте (если $x=0$, то вместо сдвига влево частица остается на месте). Определите установившееся распределение вероятностей, а также математическое ожидание величин $x$ и $x^2$ через большое время, если вначале частица находилась в точке $0$.
6. Пусть $\CP^2$ --- двумерное комплексное проективное пространство. Опишите структуру кольца когомологий де Рама $H^*(\CP^2)$.
7. Нарисуйте график функции $y(t)$, такой что $\dot y(t)=1+\sin^2y(t),\ t\ge 0$ и $y(0)=0$.
8. Пусть $P\to M$ --- комплексное накрытие комплексной кривой $M$, причем кривая $P$ односвязна. Что представляет собой кривая $P$, если кривая $M$ есть
Предъявите соответствующие накрытия.
9. Найдите
$$
\min \int_{-\infty}^{\infty}x^2\varphi^2(x)dx
\int_{-\infty}^\infty(\varphi'(x))^2dx,
$$
где минимум берется по всем вещественным функциям $\varphi(x)$,
удовлетворяющим свойству $\int_{-\infty}^\infty\varphi^2(x)dx=1$.
10. На пространстве векторных полей, касательных к единичной сфере в $\R^3$, определена операция $J$ --- поворот на 90 градусов (задаваемая векторным произведением с ортонормальным векторным полем). Докажите, что любое касательное векторное поле на сфере можно единственным образом представить в виде суммы $v_1+v_2$, где $v_1$ --- градиентное векторное поле, а $v_2$ есть результат применения операции $J$ к градиентному векторному полю.
[Postscript (42K)|Zipped postscript (12K)]
1. Объем выпуклого множества $K\subset R^n$ равен $V$, а $(n-1)$-мерный объем его проекции на любую плоскость не меньше $S$. Докажите, что диаметр множества $K$ не превосходит $n(V/S)$.
2. Эллипс с полуосями $a$ и $b$ расположен в первой четверти и касается координатных осей. Опишите множество возможных положений его центра.
3. Существует ли и единственно ли решение задачи Коши
$$
x(x^2+y^2)\frac{\partial u}{\partial x}+
y^3\frac{\partial u}{\partial y}=0,
u|_{y=0}=1
$$
в окрестности точки $(x_0,0)$ оси $x$?
4. Докажите, что существуют ненулевые дифференциальные операторы
$$
A=a_0(x)+a_1(x)\frac{d}{dx}+\dots+a_n(x)\frac{d^n}{dx^n};
B=b_0(x)+b_1(x)\frac{d}{dx}+\dots+b_m(x)\frac{d^m}{dx^m},
$$
с полиномиальными коэффициентами, такие что
$$
A\circ\frac{d}{dx}=B\circ x.
$$
5. Равномерно ли распределена на отрезке $[0,1]$ последовательность $x_k=\left\{1+\frac12+\dots+\frac1k\right\}$? (Последовательность называется равномерно распределенной, если для любого отрезка $\Delta\subset[0,1]$ верно $\lim_{k\to\infty} N_k(\Delta)/k=|\Delta|$, где $N_k(\Delta)$ - число точек среди первых $k$ элементов последовательности, попавших в $\Delta$, а $|\Delta|$ - его длина.)
6.
7. Значение многочлена $P=P(x)$ в точке $x_0$, такой что $P'(x_0)=0$, называется критическим значением многочлена. Докажите, что $t_0$ является критическим значением многочлена тогда и только тогда, когда $t_0$ - корень дискриминанта многочлена $P(x)-t$, рассматриваемого как многочлен от $x$. (Дискриминант многочлена - это произведение попарных разностей его корней.)
8. Каким должно быть отношение толщины монеты к ее диаметру, чтобы при случайном бросании она выпадала на ребро с вероятностью 1/3?
9.
Найдите
$$
\int_{-1}^1\frac{dx}{(e^x+1)(x^2+1)}.
$$
10. Найдите числа Бетти поверхности $x^2+y^2=1+z^2$ в трехмерном проективном пространстве.
Вступительный
экзамен в аспирантуру
26 октября 1998 года
[Postscript (45K)|Zipped postscript (13K)]
1. Найдите максимальное число вершин многоугольника в пересечении $n$-мерного куба и двумерной плоскости.
2. Решите уравнение
\ddot x=x^5+x^2\dot x.Здесь \ddot x означает ``x с двумя точками'', \dot x - ``x с одной точкой'' (вторая и первая производная соответственно).
3. Вычислите углы треугольника в $L_2(-1,1)$, образованного точками $f_1(x)=0$, $f_2(x)=1$, $f_3(x)=x$.
4. Найдите сумму ряда $\sum_{n=-\infty}^\infty\frac1{n^2+a^2}$.
5. Укажите в пространстве $2n\times 2n$-матриц подпространство размерности $n^2+1$ попарно перестановочных матриц.
6. Пусть $F(x,y)=x^2y^2(x^2+y^2-3)+1$.
7. Пусть $A:{\cal C}_1\to{\cal C}_2$ --- линейный оператор, такой что его ядро $\Ker A\subset {\cal C}_1$ и его коядро $\Coker A= {\cal C}_2/\Im A$ конечномерны. Индексом оператора называется разность $\dim \Ker A-\dim\Coker A$. Докажите, что ядро и коядро операторов рождения и уничтожения $A_\pm(f)=\left(\frac{d}{dx}\pm x\right)f$, действующих на пространстве функций вида $f(x)=p(x)e^{-x^2/2}$, $p(x)$ --- многочлен, конечномерны. Найдите их индексы.
8. Пусть $P_\epsilon(x)$ --- семейство многочленов от одной переменной, полиномиально зависящее от параметра $\epsilon$. Пусть $x_1=x_1(\epsilon)$, $x_2=x_2(\epsilon)$ --- два корня производной этого многочлена, $P'_\epsilon(x_1)= P'_\epsilon(x_2)=0$, непрерывно стремящиеся к общему пределу $x_0$ при $\epsilon\to 0$ и такие что $P_\epsilon(x_1(\epsilon))\equiv P_\epsilon(x_2(\epsilon))$. Докажите, что есть третий корень $x_3(\epsilon)$ производной $P'_\epsilon(x)$, непрерывно стремящийся к тому же значению $x_0$ при $\varepsilon\to0$
9. Найдите
\inf \int\int_{x^2+y^2\le1}
\left(\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+
\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\right)dx\,dy
по $C^\infty$-функциям $u$, равным 0 в 0 и 1 при $x^2+y^2=1$.
10. Вычислите целочисленные когомологии расслоения единичных касательных векторов над сферой с двумя ручками. Опишите структуру кольца в них.
