Вступительные экзамены в аспирантуру

[2007|2006|2005|2004|2003|2002|2001|2000|1999|Earlier]

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
16 ноября 1999 года

[Postscript (36K)|Zipped postscript (10K)]

1. В какой из ям (более глубокой или более мелкой) потенциальной энергии уравнения


   2
  d x         3
  --- = 3x - x  - 1
    2
  dt

больше период колебаний при равных значениях полной энергии?

2. На плоскости дана прямая, на которой отмечены две тройки точек p_1, p_2, p_3 и q_1, q_2, q_3. С помощью линейки постройте образ произвольной точки t прямой при дробно-линейном преобразовании, переводящем каждую из точек p_i в q_i.

3. Найдите длину окружности и площадь круга радиуса r на плоскости Лобачевского постоянной кривизны -1.

4.Чему равно произведение попарных разностей корней степени n из 1?

5. Докажите, что всякая квадратная матрица приводится к блочно-диагональному виду, где по диагонали стоят циклические блоки

   / 0 0 0 ... 0 -a_1  \
   | 1 0 0 ... 0 -a_2   |
   | 0 1 0 ... 0 -a_3   |
   | ................   |
   \ 0 0 0 ... 1 -a_n   /

Найдите характеристический и минимальный многочлен такого блока.

6. Сопоставим 2 X 4-матрице (неупорядоченный) набор значений ее миноров порядка 2. Может ли для комплексной матрицы этот набор иметь вид а) {2,3,4,5,6,7}; б) {3,4,5,6,7,8}?

7. Докажите, что вещественную проективную плоскость нельзя вложить в вещественное трехмерное пространство.

8. Пусть p - многочлен от n комплексных переменных. Назовем рациональную дифференциальную k-форму \omega на C^n p-логарифмической, если обе формы p\omega и pd\omega голоморфны (т.е. не имеют полюсов).

1) Докажите, что p-логарифмические формы для данного p образуют комплекс относительно дифференциала d; 2) Найдите когомологии этого комплекса для случая, когда n=1, p(x)=x^2-1.

9. Пусть f_t(x) --- гладкое семейство гладких функций на окружности, причем f_0(x)=1, f_1(x)= -1 (при всех $t$). Докажите, что при некотором t_0 из интервала (0,1) функция f''_{t_0}(x)+f_{t_0}(x) имеет не менее четырех перемен знаков. (Точка x называется точкой перемены знака функции f, если в любой ее проколотой окрестности есть точки x_1, x_2 такие, что число f(x_1)f(x_2) неположительно.)

10. Один из игроков прячет монету в 10 или 20 копеек; другой отгадывает, какая монета спрятана. Отгадавший получает монету, не отгадавший платит 15 копеек. Честная ли это игра? Каковы оптимальные стратегии обоих участников?

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
29 октября 2000

[Postscript (37K)|Zipped postscript (15K)]

1. Какое максимальное число векторов можно расположить в R^n так, чтобы все углы между ними были тупыми?

2. Участник телеигры пытается отгадать автомобиль, стоящий за одной из трех закрытых дверей. Он наудачу указывает дверь, затем ведущий наугад открывает одну из двух оставшихся, и выясняется, что автомобиля за ней нет. После этого игроку предлагают сделать окончательный выбор. Что выгоднее: настаивать на первоначально указанной им двери или указать на другую? Какова будет вероятность успеха?

3. Опишите все группы из 27 элементов.

4. Сколько слагаемых достаточно сложить для вычисления суммы ряда

sin 1   sin 2   sin 3         sin n 
----- + ----- + ----- + ... + ----- + ...
  1       2       3             n

с точностью до 0.0001? Укажите какое-нибудь число, не обязательно минимальное.

5. Существует ли такая голоморфная в единичном круге функция f, что f(0)=1/2, f(1/2)=7/8 и |f(z)|<1 при |z|<1?

6. Приводим ли в Z[x] многочлен x^p-x+a, где p --- простое число, не делящее a?

7. Сколько неособых кривых второго порядка на комплексной проективной плоскости касается пяти данных прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке?

8. Полугруппа преобразований метрического компакта X в себя порождается двумя сжимающими отображениями f_1, f_2 такими, что f_1(X)\cup f_2(X)=X [\cup означает "объединение"]. Верно ли, что орбита любой точки всюду плотна?

9. Вещественный грассманиан G(k,n) представляет собой многообразие всех k-мерных векторных подпространств в R^n. Какие вещественные грассманианы ориентируемы?

10. Найдите спектр оператора сдвига, действующего на пространстве бесконечных в обе стороны комплексных последовательностей {x_n} со скалярным произведением

 <x,y>=\sum_{n=-\infty}^\infty x_n \overline y_ne^{-|n|}

[\overline означает комплексное сопряжение] и переводящего последовательность {x_n} в последовательность {y_n} с y_n=x_{n+1}.

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
23 сентября 2001

[Postscript (46K)|Zipped postscript (18K)]

1. Опишите с точностью до сопряжения все конечные подгруппы в группе SO_3(R).

2. Углы a_1 и a_2, которые луч света образует с нормалью к поверхности, разделяющей две среды с показателями преломления eta_1 и eta_2 соответственно, связаны соотношением eta_1 sin a_1=eta_2 sin a_2. Опишите и нарисуйте траектории световых лучей на плоскости (x,y) с показателем преломления eta(x,y)=1/y.

3. Единичный куб в евклидовом пространстве R^3 ортогонально проектируют на случайную плоскость. Найдите математическое ожидание площади проекции.

4. Существует ли непрерывное отображение, ставящее в соответствие каждой прямой на вещественной проективной плоскости некоторую точку, лежащую на этой прямой?

5. Функция f голоморфна в области D={z:|z|<1} и непрерывно продолжается на её замыкание. Может ли множество нулей f внутри D состоять из однократных нулей во всех точках вида n/(n+1), где n пробегает все натуральные числа?

6. Гомеоморфны ли кольца целых p-адических чисел Z_3 и Z_5?

7. Обозначим через P_N пространство всех квадрик в PP_n(C) и рассмотрим алгебраическую гиперповерхность V\subset\PP_N, состоящую из всех вырожденных квадрик. [\subset означает "подмножество"]. Докажите, что точка q на V неособа тогда и только тогда, когда соответствующая квадрика Q\subset P_n имеет только одну особую точку x, причём касательная гиперплоскость T_qV\subset P_N состоит из всех квадрик $Q'\subset P_n, проходящих через x.

8. Группа Лоренца SO(3,1) состоит из линейных операторов на R^4, сохраняющих стандартную ориентацию и квадратичную форму x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2. [x^2 означает "икс в квадрате".] Постройте гомоморфизм групп Ли SL_2(C)\to SO(3,1), отождествляющий их алгебры Ли, и найдите число компонент связности и фундаментальную группу группы Лоренца.

9. Всякая ли конечная абелева группа является группой Галуа некоторого нормального расширения поля рациональных чисел?

10. Последовательность векторов v_n гильбертова пространства H слабо сходится к вектору v, если <v_n,w> стремится к <v,w> для всякого w, принадлежащего H. Опишите слабое замыкание множества функций, принимающих значения плюс или минус единица, в вещественном гильбертовом пространстве L^2[0;1].

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
6 октября 2002

[Postscript (81K)|Zipped postscript (33K)]

1. Остаются ли на плоскости Лобачевского в силе теоремы о пересечении высот и пересечении медиан произвольного треугольника?

2. На плоскости нарисован угол величиной 2\pi p/q (p,q in N взаимно просты). При каких p и q его можно циркулем и линейкой разбить на 3 равные части?

3. На плоскости нарисованы 3 точки a, b, c ещё 2 точки p_1 и p_2, не лежащие на прямых (ab), (bc) и (ca). Обозначим через \ell_1 проективную прямую, точками которой служат всевозможные прямые, проходящие через p_1, через \ell_2 - проективную прямую, точки которой суть прямые, проходящие через p_2, и через gamma:\ell_1\to\ell_2 --- единственный дробно линейный изоморфизм, переводящий (p_1a),(p_1b),(p_1c)\in\ell_1, соответственно, в (p_2a),(p_2b),(p_2c)\in\ell_2. Опишите геометрическое место точек пересечения x\cap gamma(x) всех пар соответственных прямых x\in\ell_1 и gamma(x)\in\ell_2.

4. Опишите все замкнутые орбиты естественного действия группы SL_2(C) на проективизации её (n+1)-мерного неприводимого представления.

5. Вычислите кольцо когомологий H^*(X,Z) пространства X subset C^3, заданного уравнением z_1^2+z_2^2+z_3^2=0.

6. Конечно ли множество различных подполей в C, изоморфных полю R?

7. Найдите производную решения дифференциального уравнения \ddot{x}=theta \dot{x}^2+x с начальным условием x(0)=1, \dot{x}(0)=0 по параметру theta при theta=0.

8. Сколько существует гомотопических классов отображений сферы с двумя ручками в RP^3?

9. Вычислите вариационную производную функционала

        |\
        |
f ----->| (df)wedge(*df) 
        |
       \|
        B

на пространстве бесконечно гладких функций, определённых в некоторой окрестности единичного шара B subset R^n (оператор Ходжа *:Lambda^kT^*R^n--->Lambda^{n-k}T^*R^n строится по стандартной евклидовой метрике на R^n).

10.

                ----/   
                 \ 
Верно ли, что ряд >{k\ge1}a_k$ сходится для почти всех
                 /
                ----\
                k geq1

(a_k)in R^\infty относительно произведения гауссовых мер

     ---     1
d mu=| | -------- e^{-x^2/2} dx ? Найдите
     | | sqrt(2pi)

mu{$a_k$ | sum a_k^2<\infty}. (напомним, что базис измеримых множеств меры mu составляют бесконечные произведения X=prod X_k, в которых только конечное число X_k отлично от R и измеримо, и мера такого произведения равна произведению мер сомножителей.)

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
5 октября 2003

[Postscript (30K)|Zipped postscript (12K)]

1. Баскетболист Косоруков собирается сделать 100 бросков по кольцу. При первом броске он всегда попадает, при втором --- всегда промахивается, а при каждом последующем броске вероятность попадания равна проценту попаданий при всех предыдущих бросках из этой серии. Какова вероятность того, что он попадет ровно 50 раз?

2. Пусть G --- компактная топологическая группа. Рассмотрим ее конечномерное представление над полем p-адических чисел Q_p (т.е. непрерывный гомоморфизм из G в GL(V), где V --- конечномерное векторное пространство над Q_p). Всегда ли это представление раскладывается в прямую сумму неприводимых?

3. Существует ли такое конформное отображение внутренности правильного треугольника на внутренность равнобедренного прямоугольного треугольника, что при соответствии границ вершины переходят в вершины?

4. Существуют ли нетривиальные вещественные векторные расслоения над трехмерной сферой?

5. Возможно ли равенство

\sqrt[3]2=a₁cos(b₁\pi)+...+a_n\cos(b_n\pi),

где все числа $a_j$ и~$b_j$ рациональны? [\sqrt[3]2 --- это кубический корень из двух, \pi --- число "пи".]

6. Пусть p --- простое число. Рассмотрим определитель

| x₁    x₂    ...    x_n |            
| x₁^p   x₂^p   ...    x_n^p |
| .................... |
| x₁^{p^n-1} x₂^{p^n-1} ... x_n^{p^n-1} |

как многочлен от x₁,x₂,..., x_n. Докажите, что этот многочлен сравним по модулю p с произведением многочленов степени 1 с целыми коэффициентами.

7. Пусть F --- однородный многочлен степени n с действительными коэффициентами. Для всякого целого числа k из интервала [0;n] обозначим черезV_k векторное пространство, порожденное всевозможными частными производными от F порядка k. Докажите, что dim(V_k=dim(V_n-k) для всякого k из интервала [0;n].

8. Рассмотрим "уравнение физического маятника" x''=-sin(x) с начальными условиями x(0)=ф, x'(0)=0; пусть T(ф) --- период колебаний. Найдите асимптотику T(ф) при ф, стремящемся к нулю (до первого непостоянного члена включительно).

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
17 октября 2004

[Postscript (33K)|Zipped postscript (14K)]

1. Сколько силовских p-подгрупп содержится в группе Gl_n(F_p) (p — простое число, F_p — поле из p элементов)?

2. Существуют ли такие гладкие функции

 f₁,f₂,f₃:R⁵ —> R

что множество

 X=\{x\inR⁵\mid f₁(x)=f₂(x)=f₃(x)=0\}

гомеоморфно вещественной проективной плоскости, причем в каждой точке x, лежащей на X, производные функций f₁, f₂ и f₃ линейно независимы?

3. Пусть X — сфера с тремя ручками и Y=(R/Z)⁶ — шестимерный тор. Можно ли вложить X в Y таким образом, чтобы это вложение индуцировало изоморфизм групп H₁(X,Z) и H₁(Y,Z)?

4. На компактной римановой поверхности X выбрано k различных точек p₁,..., p_k; дано k целых чисел m₁,..., m_k. Докажите, что на X существует мероморфная функция f, порядок которой в p_i равен m_i при всех i (на нули и полюсы функции f в остальных точках никаких условий не накладывается).

5. Можно ли расположить на плоскости окружность и параболу таким образом, чтобы их пересечение состояло ровно из двух точек, в одной из которых окружность касалась бы параболы, а в другой — нет?

6. Обозначим через X фактор трехмерного тора

 T={(z₁,z₂,z₃)\in C³ | |z₁|=|z₂|=|z₃|=1}

по инволюции , действующей по правилу (z₁,z₂,z₃) —> (-z₁,z₃,z₂). Найдите гомологии пространства X с коэффициентами в Z/2Z.

7. На комплексной плоскости расположены такие выпуклые четырехугольники A₁A₂A₃A₄ и B₁B₂B₃B₄, что угол A_i равен углу B_i для всех i и существует конформное отображение первого четырехугольника на второй, переводящее (при соответствии границ) A_i в B_i. Докажите, что четырехугольники подобны.

8. Для всякой ли непрерывной $2\pi$-периодической комплекснозначной функции с рядом Фурье $\sum_{n\in\Z}a_ne^{in\theta}$ существует непрерывная $2\pi$-периодическая функция с рядом Фурье \sum_{n\in\N}a_ne^{int}$?

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
17 сентября 2005

[Postscript (33K)|Zipped postscript (14K)]

1. Точки A, B и C лежат на графике функции y=x²; нормали к графику, проведенные в этих точках, пересекаются в одной точке. Доказать, что центр тяжести треугольника ABC лежит на оси ординат.

2. Клетки прямоугольной доски размером m×n случайно и независимо одна от другой раскрашиваются в синий и красный цвета (каждая клетка становится красной или синей с вероятностью 1/2). Доказать, что математическое ожидание числа одноцветных областей не меньше, чем mn/8. (Одноцветная область — максимальное множество одноцветных клеток, которое можно обойти ходом шахматной ладьи.)

3. Пусть a, b и c — кватернионы, причем a не равно 0. Доказать, что существует кватернион z, удовлетворяющий уравнению

az^2+b{\bar z}+c=0.

(Если z=x+yi+zj+tk, то {\bar z}=x-yi-zj-tk.)

4. Пусть пространство X получается из трехмерной сферы склеиванием трех точек в одну.

а) Найти π₁(X).

б) Найти кольцо целочисленных когомологий пространства X.

5. Пусть f — целая функция одного комплексного переменного. Докажите, что существует целая функция g, для которой g(z+1)-g(z)=f(z) при всех z.

6. Описать все ассоциативные подалгебры (с единицей) A в Mat_6×6(R) ("алгебра шесть на шесть матриц"), для которых dim_R(A)>31.

7. Существует ли риманова поверхность рода 2 с диагональной матрицей периодов?

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
15 октября 2006

[Postscript (31K)|Zipped postscript (13K)]

1. Конечная группа G транзитивно действует на множестве S, содержащем более одного элемента. Докажите, что в группе G найдется элемент g, действующий на S без неподвижных точек.

2. Функция φ:Rⁿ→R ставит в соответствие точке в Rⁿ ее предмаксимальную по величине координату. Пусть I — единичный куб в Rⁿ (множество точек, все координаты которых заключены между нулем и единицей). Найдите интеграл функции φ по I.

3. Пусть x₁,...x_n — действительные числа; положим a_ij=cos(x_i-x_j). Покажите, что определитель матрицы (a_ij) неотрицателен.

4. Для каких m и n произведение двух сфер S^m×Sⁿ можно вложить в R^m+n+1?

5. Найдите сумму
tg1°+tg5°+tg9°+...+tg177°.

6. Сколько, с точностью до изоморфизма, существует абелевых групп A, которые могут быть включены в точную последовательность
0→Z→ A→ Z/6000Z→0?

7. Подмножество X⊂CP³ задается уравнением (z₀)³+(z₁)³+(z₂)³=0, где (z₀:z₁:z₂:z₃) — однородные координаты в комплексном проективном пространстве. Найдите кольцо когомологий H^*(X,Z).

8. Существуют ли в кольце непрерывных вещественнозначных функций на отрезке простые идеалы, не являющиеся максимальными? (От идеалов не требуется замкнутость в какой бы то ни было топологии.)

Независимый Московский Университет

Математический Колледж

Вступительный экзамен в аспирантуру
14 октября 2007

[Postscript (31K)|Zipped postscript (13K)]

1. Существует ли непрерывное и взаимно однозначное отображение из R в R²?

2. Пусть x_n — наименьший положительный корень уравнения cos(x)=nx (где n — целое положительное число). Найдите три первых непостоянных члена асимптотического разложения x_n при n, стремящемся к бесконечности.

3. Обозначим через |.| стандартную евклидову метрику в Rⁿ⁺¹; пусть Sⁿ и Bⁿ⁺¹ — единичная сфера и замкнутый единичный шар с центром в начале координат относительно этой метрики. Докажите, что если f: Bⁿ⁺¹->Rⁿ⁺¹ — непрерывное отображение, обладающее тем свойством, что |f(x)-x|<1 для всех x, принадлежащих Sn, то f(Bⁿ⁺¹) содержит окрестность начала координат.

4. Пусть φ=2π/11. Найдите

sin(φ)-sin(2φ)+sin(3φ)+sin(4φ)+sin(5φ).

5. Пусть SO_n(R)⊂Mat_n×n(R) — множество всех ортогональных матриц с определителем 1. Существует ли в Mat_n×n(R) (рассматриваемом как аффинное пространство размерности n²) аффинная гиперплоскость, содержащая SO_n(R)?

6. Пусть T — двумерный тор (произведение двух окружностей) и X — фактор T×T по отношению эквивалентности (p,q)≡(q,p). Найдите Hⁱ(X,Z) для всех i.

7. Пусть D — некоммутативное тело и K — его центр.

а) Покажите, что размерность D как векторного пространства над K не может быть меньше 4.

б) Пусть размерность D как векторного пространства над K равна 4. Покажите, что существует такой автоморфизм φ:D->D (векторных пространств над K), что φ(xy)=φ(y)φ(x) для всех x,y∈D.

8. Существует ли в C² замкнутое одномерное комплексно-аналитическое подмногообразие, изоморфное единичному кругу на комплексной плоскости?