На главную страницу НМУ

Б.Л.Фейгин, В.Доценко (B.Feigin, V.Dotsenko)

Алгебры Ли (Lie algebras)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

[Листок 1 (29K)|Листок 2 (28K)|Листок 3 (66K)|Листок 4 (27K)
Листок 5 (19K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (12K)|Листок 2 (11K)|Листок 3 (23K)|Листок 4 (11K)
Листок 5 (9K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (54K)|Zipped postscript (20K)]

Это продолжение курса, прочитанного в осеннем семестре. Предполагается, что слушатели курса принимают активное участие в разборе большого числа примеров (в частности, лекции нередко могут иметь форму семинаров), а общие утверждения возникают только в случае большой необходимости. В частности, знакомство с материалом предыдущего семестра полезно, но можно узнавать необходимые вещи и по ходу дела, решая задачи.

В весеннем семестре обсуждалось следующее:

1. Классические алгебры Ли. Явные реализации, весовое разложение, образующие Шевалле, изоморфизмы малых размерностей.
2. Системы корней: классификация и связь с алгебрами Ли.
3. Алгебра Ли g₂.
   1. Структура алгебры Ли на sl₃\oplus C³\oplus (C³)^*.
   2. Октавы (числа Кэли). Классификация композиционных алгебр (теорема Гурвица).
   3. Дифференцирования алгебры кватернионов и алгебры октав.
   4. Алгебры Клиффорда над полем вещественных чисел (классификация). Спинорные представления ортогональных алгебр.
   5. Алгебра g₂ как подалгебра в so₇ и so₈. Умножение в алгебре октав как гомоморфизм представлений C⁸\otimes S₁-> S₂, где C⁸, S₁, S₂ - векторное и два спинорных представления so₈.
   6. Алгебра Ли, сохраняющая геометрическую структуру. Картановское продолжение. Алгебра Ли конформных преобразований.
   7. Алгебра g₂ как алгебра изометрий шестимерной сферы, сохраняющая (неинтегрируемую) комплексную структуру.