Лекции читаются очно по средам 18:30-20:05 в аудитории 1603 ГЗ МГУ.
Видеозаписи лекций выкладываются
здесь и
здесь.
Вот чат в телеграме для слушателей курса, заходите.
По всем вопросам можете писать в чат или на почту ryabichev@179.ru
Курс рассчитан на студентов 1–3 курса, но ходить могут все желающие.
Курс можно зачесть в НМУ,
для желающих в мае пройдёт письменный экзамен.
Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно).
15 мая, лекция 12. Порождение Mod(S) Скручиваниями Дена. Разные порождающие наборы.
1 мая, лекция 11 (видео). Точная последовательность Бирман. Задачи к лекции 11.
24 апреля, лекция 10 (видео). Скручивания Дена. Соотношения. Изменение чисел пересечения. Задачи к лекции 10.
17 апреля, лекция 9 (видео). Скручивания Дена. Соотношения. Изменение чисел пересечения. Задачи к лекции 9.
10 апреля, лекция 8 (видео). Заполняющие кривые. Принцип Александера. Задачи к лекции 8.
3 апреля, лекция 7 (видео). Гиперболические штаны. Минимальное положение простых замкнутых кривых. Критерий двуугольника. Задачи к лекции 7.
27 марта, лекция 6 (видео). Построение гиперболической метрики на поверхности. Действие фундаментальной группы на универсальном накрытии. Центр фундаментальной группы поверхности. Задачи к лекции 6.
13 марта, лекция 5 (видео). Свойства геодезических на плоскости Лобачевского. Абсолют. Классификация изометрий, сохраняющих ориентацию: эллиптические, параболические и гиперболические. Картинки. Задачи к лекции 5.
6 марта, лекция 4 (видео). Накрытия, универсальное накрытие. Пример явной конструкции универсального накрытия поверхности. Римановы метрики. Геодезические. Кривизна. Плоскость Лобачевского, её изометрии. Задачи к лекции 4.
28 февраля, лекция 3 (видео). Определения группы классов отображений. Примеры: диск, кольцо, сфера с 1, 2 и 3 проколами, тор. Задачи к лекции 3.
21 февраля, лекция 2 (видео). Фундаментальная группа, гомоморфизмы индуцированные непрерывными отображениями, связь с накрытиями. Теорема Дена-Нильсена (формулировка), существование и гомотопическая единственность отображения поверхностей с заданным гомоморфизмом фундаментальных групп. Группы первых гомологий. Задачи к лекции 2.
14 февраля, лекция 1 (видео). Определения топологических и гладких многообразий, их эквивалентность в размерности 2. Связная сумма, теорема о классификации компактных ориентируемых поверхностей, эйлерова характеристика. Какие бывают кривые на поверхностях. Задачи к лекции 1.
Основным объектом, с которым мы будем работать в данном курсе, является замкнутая ориентируемая поверхность, то есть попросту сфера с ручками — то, с чего обычно начинают изучение топологии. Оказывается, несмотря на наглядность и простоту, на примере поверхностей можно изучить массу полезных приёмов и содержательных теорем из алгебраической и дифференциальной топологии.
Группа классов отображений Mod(S) поверхности S получается, если рассмотреть множество гомеоморфизмов S → S с точностью до изотопии. Инварианты этой группы, а также некоторых её подгрупп — активно развивающаяся область современной геометрической топологии. Мы начнём с базовых свойств поверхностей, и затем обсудим разные способы описать группу классов отображений (например, в терминах действия на комплексе кривых). Для понимания курса требуются минимальные знания алгебраической топологии — достаточно знакомства с понятием фундаментальной группы.
В целом курс следует первой части учебника [Farb, Margalit], с небольшими добавлениями из книги [Прасолов, Сосинский] и записок лекций [Lurie]. Он действительно вводный и будет интересен тем, кому нравится топология (на уровне непонятных картинок, гомотопий и всякого такого), но кто пока знает про группы классов отображений не очень много. Формат курса планируется близким к семинару, это будет не только рассказ у доски, но и обсуждения с аудиторией.
Если останется время, в качестве дополнения мы обсудим трёхмерные многообразия, разбиения Хегора и диаграммы Хегора. Также, при наличии интереса слушателей, мы можем разобрать теорему Эдмондса о факторизации отображений поверхностей.