[Lecture 1-3.pdf |Lecture 4.pdf |Lecture 5.pdf ]
[Lecture 6.pdf |Lecture 7.pdf ]
[Листок 1.ps (21K)|Листок 2.ps (26K) ]
(1) Группы преобразований. Группы симметрий фигуры (примеры). Геометрия в смысле Клейна (т.е. множество с действием группы преобразований). Порядок элемента и группы, подгруппа, изоморфизм, теорема Лагранжа, группы простых порядков, циклические группы.
(2) Абстрактные группы. Теорема Кэйли (всякая группа изоморфна некотрой группе преобразований). Нормальные подгруппы и фактор группы, гомо-, моно-, эпиморфизм. Свободные группы и группы перестановок, группы заданные образующими и соотношениями, теорема классификации конечно порожденных абелевых групп (без док-ва).
(3) Группы движений на плоскости и в пространстве (SO(2), SO(3)). Конечные подгуппы SO(3) и платоновы тела.
(4) Дискретные подгруппы группы изометрий плоскости (O(3)), орбиты, стабилизаторы, фундаментальные области. Замощения плоскости, теорема Федорова о 17 замощениях плоскости. Рассказ о кристаллографических группах.
(5) Группы порожденные отражениями и геометрии Кокстера (они же "калейдоскопы" в терминологии Винберга). Классификация геометрий Кокстера в размерности 2 и 3. Схемы Кокстера и классификация геометрий Кокстера в произвольной размерности (без док-ва).
(6) SO(3) как группа движений двумерной сферы м сферическая геометрия, площадь и сумма углов треугольника. Эллиптическая геометрия Римана.
(7) Группа, порожденная отражениями относительно окружности (т.е. инверсиями) на плоскости (точнее, на сфере Римана) и модель Пуанкаре геометрии Лобачевского, параллелизм, сумма углов треугольника, абсолют.
(8) Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского на полуплоскости, двойное отношение, формула расстояний, угол параллелизма, константна Швейкарта, гиперболическая тригонометрия, модель Кэйли-Клейна. Изоморфизм трех моделей геометрии Лобачевского.
(9) Рассказ об истории создания неевклидовых геометрий: Евклид, Нассирадин, Саккери, Ламберт, Швейкарт, Тауриниус, Гаусс, Лобачевский, Болиай, Бельтрами, Кэйли, Клейн, Пуанкаре, Гильберт.
(10) Группа невырожденных линейных преобразований пространства и проективная плоскость как множество прямых проходящих через начало координат. Проективная двойственность как изоморфизм двух моделей проективной геометрии. Четверки точек в общем положении и на прямой. Теоремы Паппа, Дезарга и Паскаля.
(11) Принцип Кэйли "проективная геометрия есть вся геометрия" как теорема о том, что геометрии Евклида, Лобачевского и Римана суть подгеометрии проективной геометрии.
(12) Конечные аффинные и проективные геометрии и их аксиоматика. Конечные поля и координатное построение "геометрий Галуа" (т.е. аффинных геометрий над конечным полем) и их пополнение до проективных геометрий.
