На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Анализ на многообразиях

Экзамен

Видеозаписи лекций курса

Листки

[ Листок 1 | Листок 2 | Листок 3 | Листок 4 ]
[ Листок 5 | Листок 6 | Листок 7 | Листок 8 ]

Конспекты лекций

[ Лекция 5 | Лекция 6 | Лекция 7 | Лекция 8 ]
[ Лекция 9 | Лекция 10 | Лекция 11 | Лекция 12 ]
[ Лекция 13 | Лекция 14 | Лекция 15 | Лекция 16 ]

Программа курса

1. Векторные (линейные) и аффинные пространства. Базис, репер, аффинные координаты и аффинные замены координат. Криволи- нейные координаты. Замены криволинейных координат и диффео- морфизмы области аффинного пространства. Функции и их запись геометрами в координатах. Векторы как дифференцирования функций. Векторные поля. Запись векторов и векторных полей в криволинейных координатах. Преобразование координат векторов и векторных полей при замене координат. Коммутатор векторных полей. Отображения областей аффинного пространства. Обратный образ функции при отображении. Дифференциал отображения.

2. Двойственное векторное пространство, двойственный (дуальный) базис, пространство кососимметрических полилинейных функций и базис в нём. Дифференциальные формы. Дифференциал функции как 1-форма. Внешнее умножение форм. Внешний дифференциал форм. Векторнозначные и матричнозначные формы.

3. Регулярные параметрические кривые и k-мерные поверхности в аффинных пространствах. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции. Неявный способ задания поверхностей. Касательные векторы, касательное про- странство. Геометрический смысл условия регулярности. Кривые на поверхности. Гладкие функции и отображения поверхностей. Производная вдоль касательного вектора функций и векторных полей, заданных на поверхности.

4. Гладкие регулярные кривые в n-мерном евклидовом пространстве. Натуральный параметр, его существование и свойства. Кривизна кривой в евклидовом пространстве. Базис Френе, репер Френе и формулы Френе для плоской кривой. Случай трёхмерного ориентированного евклидова пространства: базис и репер Френе, кручение, формулы Френе. Случай ориентированного евклидова пространства произвольной размерности: построение базиса Френе, формулы Френе, высшие кручения. Восстановление кривой по кри- визне и высшим кривизнам с точностью до движения пространства.

5. Гладкие регулярные двумерные поверхности в трёхмерном евкли- довом пространстве. Поле нормалей к двумерной поверхности в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная и геодезиче- ская кривизна кривой, лежащей на двумерной поверхности в трёх- мерном евклидовом пространстве. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Формулы для нормальной кривизны кривой через первую и вторую квадратичные формы. Главные кривизны, главные направления, гауссова и средняя кривизна. Формулы для гауссовой и средней кривизны. Нормальная кривизна со знаком (ориентированная нормальная кривизна) и формула Эйлера. Гео- метрический смысл главных кривизн и главных направлений.

6. Случай k-мерной поверхности в n-мерном евклидовом простран- стве. Касательное и нормальное пространство в точке к k-мерной поверхности в n-мерном евклидовом пространстве. Поле ортого- нальных проекторов на касательные пространства. Деривационная формула Гаусса. Вторая квадратичная форма и ковариантная про- изводная касательного векторного поля и их свойства. Деривацион- ная формула Вейнгартена. Оператор Вейнгартена и ковариантная производная нормального векторого поля и их свойства. Запись связностей, второй квадратичной формы и оператора Вейнгартена в координатах. Формулы Френе как частный случай дериваци- онных формул Гаусса-Вейнгартена. Формулы для нахождения символов Кристоффеля по метрике.

7. Вычисление геодезической кривизны лежащей на поверхности кривой через связность, нормальной кривизны лежащей на поверх- ности кривой через вторую квадратичную форму. Формула Гаусса. Theorema egregium Гаусса. Понятие внутренней геометрии.

8. Параллельный перенос. Сохранение параллельным переносом длин векторов и углов между векторами. Оператор параллельного по- ворота. Угол поворота при параллельном переносе вдоль границы области. Геодезические. Теорема Гаусса-Бонне.

9. Карты, атласы, гладкие структуры, гладкие многообразия. Топо- логические аксиомы: хаусдорфовость и вторая аксиома счётности. Гладкие функции. Отображения многообразий. Обратный образ функций при отображении. Касательные векторы и дифференциа- лы отображений. Запись в координатах, преобразование функций и координат векторов при замене координат. Касательное и кокасательное пространство к многообразию в точке. Касательное и кокасательное расслоение.

10. Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожден- ная векторным полем. Тензорные поля, дифференциальные фор- мы. Внешнее умножение и его свойства, алгебра дифференциаль- ных форм на многообразии. Внешний дифференциал, контракция (внутреннее умножение) с векторным полем, производная Ли.