В весеннем семестре 2005 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
| Осень, 2000 | Весна, 2001 | Осень, 2001 | Весна, 2002 |
| Осень, 2002 | Весна, 2003 | Осень, 2003 | Весна, 2004 |
| Осень, 2004 |
Пятница, 15 апреля 2005, 17.00, ауд. 206
Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с комплексным временем, имеющее полюс высшего порядка в точке 0. Точнее, предполагается, что 0 - иррегулярная особенность.
Инварианты локальной аналитической классификации типичных уравнений такого типа известны и включают формальную нормальную форму (уравнение с разделяющимися переменными) и операторы Стокса. Это — линейные операторы в пространстве решений, задающие "препятствие" к разделяемости переменных.
Каждое из упомянутых выше уравнений может быть рассмотрено как предел семейства уравнений со сливающимися Фуксовыми особенностями (полюсами первого порядка).
В докладе будет дан обзор результатов о связи операторов Стокса невозмущённого уравнения и монодромии возмущённого. Будет рассказано об их аналогах в других ситуациях (включая нелинейное явление Стокса).
Пятница, 8 апреля 2005, 17.00, ауд. 206
Будут обсуждаться геометрические причины существования проективно плоских связностей на естественных векторных расслоениях над многообразиями модулей поляризованных келеровых структур на данном симплектическом многообразии, допускающем вполне интегрируемую вещественную поляризацию (слоем естественного расслоения является пространство глобальных голоморфных сечений обильного линейного расслоения, задающего келерову поляризацию).
Пятница, 1 апреля 2005 (no kidding!), 17.00, ауд. 206
Задача гармонического анализа -- разложение регулярного представления или родственных ему. Для бесконечномерных групп очевидного определения регулярного представления нет, поскольку нет понятия пространства L^2 на группе. Будет объяснено, как построить аналог регулярного представления для бесконечномерной унитарной группы. Конструкция дает не одно представление, а 4-параметрическое семейство.
Если слушатели пожелают, можно рассказать, как находится разложение этих представлений. Оно описывается в терминах точечных случайных процессов и их корреляционных функций. Конечные формулы оказываются по форме чрезвычайно близки к выражениям, возникающим в асимптотических задачах для спектров случайных матриц. Связь со случайными матрицами -- основной пафос нашей работы. Но было бы очень интересно обнаружить и другие связи с матфизикой.
Пятница, 25 марта 2005, 17.00, ауд. 206
Коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона, будучи структурными константами в кольце симметрических функций, удовлетворяют очевидным соотношениям, отражающим ассоциативность и коммутативность этого кольца. Но Комбинаторика учит нас искать за числами множества, а за равенствами - биекции соответствующих множеств. Коэффициенты ЛР допускают (по меньшей мере) три интерпретации: в терминах таблиц Юнга, в терминах "дискретно вогнутых" функций и в терминах массивов. Соответственно на этих языках возникают биекции. В докладе будет подробно рассказано о биекциях на функциональном языке, связанных с так называемой октаэдральной рекурсией. Но еще более понятно и естественно эти биекции строятся на языке теории массивов, экзотического варианта матричного исчисления.
Пятница, 18 марта 2005, 17.00, ауд. 206
Я постараюсь рассказать о связи между следующими двумя конструкциями:
1. Конструкция высших гамильтонианов Годена, предложенная Фейгиным, Френкелем и Решетихиным. Она дает максимальную систему коммутирующих операторов, действующих в тензорном произведении конечного числа неприводимых представлений полупростой алгебры Ли. Эти операторы получаются из центральных элементов универсальной обертывающей алгебры соответствующей аффинной алгебры Каца--Муди на критическом уровне.
2. Конструкция максимальных коммутативных подалгебр в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли методом сдвига инвариантов.
В некотором смысле вторая конструкция есть вырождение первой. Наличие такой связи дает, с одной стороны, поднятие подалгебр сдвига инвариантов в универсальную обертывающую алгебру и аналоги базисов Гельфанда--Цетлина в представлениях произвольной полупростой алгебры Ли, а с другой стороны, доказательство простоты спектра (высших) гамильтонианов в модели Годена "общего вида".
Пятница, 11 марта 2005, 17.00, ауд. 206
This talk is on the classical knotting, or isotopy problem in topology:
given an $n$-manifold $N$ and a number $m$, describe isotopy classes of embeddings $N\to S^m$.
I will concentrate on the case $n=3$, which allows to exhibit many results, methods and ideas on knotting problem. Many concrete complete classification results (Haefliger 1962, Haefliger-Hirsch 1963, Hudson 1963, Kreck-Skopenkov 2004) will be presented. Explicit constructions of invariants and embeddings, as well as ideas of proof, will be sketched.
Пятница, 4 марта 2005, 17.00, ауд. 206
В докладе будет рассказано про нашу совместную деятельность с В.И.Даниловым, связанную с приложением дискретной выпуклости. Дискретно-выпуклые (вогнутые) функции это специальные функции на решетке целых векторов.
В первой части будет напоминае про то, как такие целозначные функции на плоскости тесно с подмодулями в модулях над кольцами дискретного нормирования, задачей Хорна о спектре суммы Эрмитовых матриц, правилом Литтлвуда-Ричардсона для разложения неприводимых представлений общей линейной группы, тропическими рациональными кривыми.
Во второй части доклада будет рассказано про трехмерные функции и их связь с комбинаторикой таблиц Юнга, а именно, как модифицированное RSK связано с поляризованными трех-мерными дискретно-вогнутыми функциями, на этом пути мы получим некоторые интересные биекции между множествами пар двумерных дискретно-вогнутых функций, а биекция ассоциативности напоминает flip для спин-сеток на тривалентных графах.
Пятница, 25 февраля 2005, 17.00, ауд. 206
Strebel differentials allow one to divide into simplices the moduli space of complex curves. They also permit to write down explicit 2-forms representing the psi-classes (some 2-cohomology classes) on this space.
We will be interested in two questions. Does the decomposition into simplices extend from the moduli space to the Deligne-Mumford compactification? (Answer: no.) How do the above 2-forms behave when we go from one simplex to another? (Answer: they are continuous, but not smooth.) We will explain how to overcome these difficulties.
Пятница, 18 февраля 2005, 17.00, ауд. 206
Во-первых, что такое теория Терстона? В нашем понимании - это естественное замыкание множества (непересекающихся) замкнутых геодезических на римановой поверхности с дырками (множества ламинаций). Это описание дается с помощью теории т.н. автострад (train tracks) и оно использовалось в предыдущих работах по пространствам Тейхмюллера для построения проективного предела (границы) пространства Тейхмюллера. Эта граница оказывалась нехаусдорфовой и тем более невозможно было обсуждать непрерывность и пр. -- никакого понятия "близости" точек ввести было невозможно. Другое описание пространства Тейхмюллера было построено Пеннером и Фоком. Описание в соответствующих координатах было проквантовано Фоком и Чеховым. Мы объединяем два подхода и сопоставляем "точкам" границы в определенном смысле "разность", или точнее, отношение между длинами в описании Пеннера-Фока и Терстона. Мотивация этого связана с символьной динамикой (триангуляцией) соответствующей поверхности.
Вся эта структура допускает квантовое описание. Доказывается непрерывность предела (в слабом операторном смысле), что и составяет основное содержание деятельности в ее нынешнем состоянии. (Это доказательство даже в простейшем случае тора с одной дыркой требует нетривиальных манипуляций с цепными дробями и соответствующими символьными выражениями. Надеюсь успеть рассказать и об этом.)
Пятница, 11 февраля 2005, 17.00, ауд. 206
После доказательства П.Делинем в 1970-х годах гипотез А. Вейля существует следующий своеобразный способ вычисления когомологий комплексных алгебраических многообразий, которые могут быть определены уравнениями с целыми коэффициентами. Многообразие редуцируется по модулю (любого!) простого числа; затем вычисляются количества точек этой редукции как над соответствующим простым полем, так и над всеми его конечными расширениями; по полученным количествам строится некоторая специальная производящая функция (это и есть дзета Хассе-Вейля); из этой функции и извлекаются числа Бетти исходного многообразия.
В докладе будут обсуждаться возможности применения этого подхода к вычислению когомологий пространств модулей проколотых алгебраических кривых. Будет показано, как этот подход очень просто даёт известные формулы Киля-Манина-Концевича-... для многочленов Пуанкаре пространств стабильных проколотых кривых рода 0 (будет использована геометрия "канонических" стабильных рациональных кривых, доведённая недавно до полной прозрачности И.В. Артамкиным).
Все необходимые понятия будут определены.