На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Кусочно-линейные многообразия и маломерная топология (МГУ, осень 2025)

Лекции читаются очно по четвергам в ГЗ МГУ. ЕСЛИ ВАМ НУЖЕН ПРОПУСК В МГУ, пришлите ФИО + место учёбы/работы НЕ ПОЗДНЕЕ 3 СЕНТЯБРЯ (пропуск делается неделю).

Есть чат в телеграме для слушателей курса, заходите. По всем вопросам можете писать в чат или на почту ryabichev@179.ru

Курс рассчитан на студентов 1–3 курса, но ходить могут все желающие. Курс можно зачесть в НМУ, для желающих в декабре пройдёт письменный экзамен. Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно).

Лекции и задачи

Здесь будут выкладываться аннотации лекций и задачи

11 сентября, лекция 1. Мы поговорим про многообразия, вспомним, какие они бывают -- топологические, гладкие, -- и что мы про них уже знаем. Также будет небольшой обзор фактов о триангулируемости.

Программа курса

В этом курсе мы будем двигаться в сторону Hauptvermutung — известной гипотезы, что любое топологическое многообразие триангулируемо, а любой гомеоморфизм PL-многообразий изотопен кусочно-линейному. Эта гипотеза верна в размерности ≤3, но неверна в общем случае.

Первая часть курса посвящена общему обзору теории многообразий, а также методам работы с кусочно линейными многообразиями. Во второй части курса мы докажем Hauptvermutung в размерности 2 и сопутствующие утверждения о поверхностях. В заключительной части курса речь пойдёт про трёхмерную топологию, мы разберём несколько классических фактов о 3-многообразиях и обсудим теорему о триангулируемости.

Примерный план:

1. Топологические многообразия. Атласы, гладкие многообразия. Примеры многообразий

2. Подмногообразия. Примеры диких вложений (дикие узлы, ожерелье Антуана, рогатая сфера Александера)

3. Полиэдры в евклидовом пространстве, триангуляции, измельчения

4. Кусочно линейные отображения, локальный критерий невырожденности. PL-многообразия

5. Теорема о триангулируемости гладких многообразий

6. Некомбинаторные триангуляции. Гомологические сферы, теорема Эдвардса о двойной надстройке (без доказательства)

7. Теорема Жордана

8. Теорема о кусочно линейной аппроксимации гомеоморфизма поверхностей. Триангулируемость топологических 2-многообразий

9. Теорема Шёнфлиса

10. Трёхмерные многообразия. Линзы. Разбиение Хегора

11. Лемма Дена, теоремы Папакирьякопулоса о петле и о сфере

12. Кусочно линейная аппроксимация в трёхмерном пространстве. Теорема о триангулируемости трёхмерных многообразий

13. Инвариант Кирби-Зибенманна (обзор)

Литература

Благодарности