На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Кусочно-линейные многообразия и маломерная топология (МГУ, осень 2025)


Лекции читаются очно по четвергам с 18:30 до 20:05 в аудитории 1226а ГЗ МГУ.

Есть чат в телеграме для слушателей курса, заходите. По всем вопросам можете писать в чат или на почту ryabichev@179.ru

Курс рассчитан на студентов 1–3 курса, но ходить могут все желающие. Курс можно зачесть в НМУ, для желающих в декабре пройдёт письменный экзамен. Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно).


Лекции и задачи

Здесь будут выкладываться аннотации лекций и задачи

2 октября, лекция 4. Полиэдры в R^n. Кусочно-линейные отображения и PL-структуры. Измельчения триангуляций, комбинаторная эквивалентность комплексов.

25 сентября, лекция 3 (видео). Теорема о классификации триангулированных поверхностей. Связная сумма гладких многообразий. Связная сумма в размерности 2 не зависит от выбора склеивающего гомеоморфизма. Ленточные графы, описание ленточных графов с точностью до гомеоморфизма. Задачи к лекции 3.

18 сентября, лекция 2 (видео). Симплициальные комплексы и их геометрические реализации. Линк вершины. Критерий гомеоморфности комплекса многообразию. Теорема о двойной надстройке (обсуждение формулировки). Задачи к лекции 2.

11 сентября, лекция 1 (видео). Где появляются многообразия: решения систем уравнений, конфигурационные пространства. Топологические многообразия. Атласы, гладкие многообразия. Примеры: гиперповерхности в R^n, грассманианы. Касательные вектора, касательное расслоение. Различия между топологическими и гладкими многообразиями и проблема триангулируемости (обзор). Задачи к лекции 1.


Программа курса

В этом курсе мы будем двигаться в сторону Hauptvermutung — известной гипотезы, что любое топологическое многообразие триангулируемо, а любой гомеоморфизм PL-многообразий изотопен кусочно-линейному. Эта гипотеза верна в размерности ≤3, но неверна в общем случае.

Первая часть курса посвящена общему обзору теории многообразий, а также методам работы с кусочно линейными многообразиями. Во второй части курса мы докажем Hauptvermutung в размерности 2 и сопутствующие утверждения о поверхностях. В заключительной части курса речь пойдёт про трёхмерную топологию, мы разберём несколько классических фактов о 3-многообразиях и обсудим теорему о триангулируемости.

Примерный план:

  1. Топологические многообразия. Атласы, гладкие многообразия. Примеры многообразий

  2. Подмногообразия. Примеры диких вложений (дикие узлы, ожерелье Антуана, рогатая сфера Александера)

  3. Полиэдры в евклидовом пространстве, триангуляции, измельчения

  4. Кусочно линейные отображения, локальный критерий невырожденности. PL-многообразия

  5. Теорема о триангулируемости гладких многообразий

  6. Некомбинаторные триангуляции. Гомологические сферы, теорема Эдвардса о двойной надстройке (без доказательства)

  7. Теорема Жордана

  8. Теорема о кусочно линейной аппроксимации гомеоморфизма поверхностей. Триангулируемость топологических 2-многообразий

  9. Теорема Шёнфлиса

  10. Трёхмерные многообразия. Линзы. Разбиение Хегора

  11. Лемма Дена, теоремы Папакирьякопулоса о петле и о сфере

  12. Кусочно линейная аппроксимация в трёхмерном пространстве. Теорема о триангулируемости трёхмерных многообразий

  13. Инвариант Кирби-Зибенманна (обзор)

Литература

  • Moise. Geometric topology in dimensions 2 and 3

  • Манкрс. Элементарная дифференциальная топология (приложение к книжке Милнор, Сташеф. Характеристические классы)

  • Lurie. Topics in Geometric Topology

  • Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии

  • Скопенков. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения



  • Благодарности

    Разработка данного курса поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС».