На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Введение в группы классов отображений (МГУ, весна 2024)


Лекции читаются очно по средам 18:30-20:05 в аудитории 1603 ГЗ МГУ. Видеозаписи лекций выкладываются здесь и здесь.

Курс рассчитан на студентов 1–3 курса, но ходить могут все желающие. Курс можно зачесть в НМУ, для желающих в мае пройдёт письменный экзамен. Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно).

Экзамен по курсу состоялся в 26 мая 2024, вот вариант и видео-разбор.

Повторный экзамен состоялся 22 сентября 2024, вот вариант и видео-разбор.


Лекции и задачи

Обратите внимание: в старых условиях задач могут исправляться опечатки

10 июля, лекция 15 (дополнительная, видео). Доказательство конечной представимости группы классов отображений. Группа, действующая на стягиваемом комплексе к конечно представленными стабилизаторами вершин и рёбер, конечно представлена. Конструкция Бореля.

10 июля, лекция 14 (дополнительная, видео). Конечно представленные группы. Конечная представимость расширения, фактора, подгруппы конечного индекса. Комплекс дуг, доказательство стягиваемости.

22 мая, лекция 13 (видео). Конечная порождённость Mod(S). Образующие Ликориша и Хамфриса. Задачи к лекции 13.

15 мая, лекция 12 (видео). Порождение Mod(S) скручиваниями Дена. Задачи к лекции 12.

1 мая, лекция 11 (видео). Точная последовательность Бирман. Задачи к лекции 11.

24 апреля, лекция 10 (видео). Скручивания Дена. Соотношения. Изменение чисел пересечения. Задачи к лекции 10.

17 апреля, лекция 9 (видео). Скручивания Дена. Соотношения. Изменение чисел пересечения. Задачи к лекции 9.

10 апреля, лекция 8 (видео). Заполняющие кривые. Принцип Александера. Задачи к лекции 8.

3 апреля, лекция 7 (видео). Гиперболические штаны. Минимальное положение простых замкнутых кривых. Критерий двуугольника. Задачи к лекции 7.

27 марта, лекция 6 (видео). Построение гиперболической метрики на поверхности. Действие фундаментальной группы на универсальном накрытии. Центр фундаментальной группы поверхности. Задачи к лекции 6.

13 марта, лекция 5 (видео). Свойства геодезических на плоскости Лобачевского. Абсолют. Классификация изометрий, сохраняющих ориентацию: эллиптические, параболические и гиперболические. Картинки. Задачи к лекции 5.

6 марта, лекция 4 (видео). Накрытия, универсальное накрытие. Пример явной конструкции универсального накрытия поверхности. Римановы метрики. Геодезические. Кривизна. Плоскость Лобачевского, её изометрии. Задачи к лекции 4.

28 февраля, лекция 3 (видео). Определения группы классов отображений. Примеры: диск, кольцо, сфера с 1, 2 и 3 проколами, тор. Задачи к лекции 3.

21 февраля, лекция 2 (видео). Фундаментальная группа, гомоморфизмы индуцированные непрерывными отображениями, связь с накрытиями. Теорема Дена-Нильсена (формулировка), существование и гомотопическая единственность отображения поверхностей с заданным гомоморфизмом фундаментальных групп. Группы первых гомологий. Задачи к лекции 2.

14 февраля, лекция 1 (видео). Определения топологических и гладких многообразий, их эквивалентность в размерности 2. Связная сумма, теорема о классификации компактных ориентируемых поверхностей, эйлерова характеристика. Какие бывают кривые на поверхностях. Задачи к лекции 1.


Программа курса

Основным объектом, с которым мы будем работать в данном курсе, является замкнутая ориентируемая поверхность, то есть попросту сфера с ручками — то, с чего обычно начинают изучение топологии. Оказывается, несмотря на наглядность и простоту, на примере поверхностей можно изучить массу полезных приёмов и содержательных теорем из алгебраической и дифференциальной топологии.

Группа классов отображений Mod(S) поверхности S получается, если рассмотреть множество гомеоморфизмов S → S с точностью до изотопии. Инварианты этой группы, а также некоторых её подгрупп — активно развивающаяся область современной геометрической топологии. Мы начнём с базовых свойств поверхностей, и затем обсудим разные способы описать группу классов отображений (например, в терминах действия на комплексе кривых). Для понимания курса требуются минимальные знания алгебраической топологии — достаточно знакомства с понятием фундаментальной группы.

В целом курс следует первой части учебника [Farb, Margalit], с небольшими добавлениями из книги [Прасолов, Сосинский] и записок лекций [Lurie]. Он действительно вводный и будет интересен тем, кому нравится топология (на уровне непонятных картинок, гомотопий и всякого такого), но кто пока знает про группы классов отображений не очень много. Формат курса планируется близким к семинару, это будет не только рассказ у доски, но и обсуждения с аудиторией.

Примерный план:

  1. Классификация поверхностей. Гомеоморфизмы. Гомотопии. Теоремы Жордана и Шёнфлиса

  2. Фундаментальная группа. Гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные непрерывными отображениями

  3. Группы классов отображений. Примеры (диск, кольцо, тор, тор с проколом)

  4. Накрытия. Универсальное накрытие и фундаментальная группа. Плоскость Лобачевского

  5. Движения плоскости Лобачевского. Поднятия кривых, геодезические

  6. Простые замкнутые кривые. Минимальное положение, критерий двуугольника

  7. Изотопии простых замкнутых кривых. Принцип замены координат

  8. Заполняющие кривые. Принцип Александера

  9. Скручивания Дена. Соотношение кос. Действие на числах пересечений. Центр Mod(S)

  10. Гомоморфизмы включения и заклеивания для групп классов отображений

  11. Гомоморфизм разрезания. Точная последовательность Бирман

  12. Порождение скручиваниями Дена

  13. Действие на комплексе неразделяющих кривых. Конечная порождённость

  14. Стягиваемость комплекса дуг. Конечная представимость. Образующие и соотношения

  15. Доказательство теоремы Дена-Нильсена

    Если останется время, в качестве дополнения мы обсудим трёхмерные многообразия, разбиения Хегора и диаграммы Хегора. Также, при наличии интереса слушателей, мы можем разобрать теорему Эдмондса о факторизации отображений поверхностей.

Литература

  • Farb, Margalit. A primer on mapping class groups

  • Lurie. Topics in Geometric Topology

  • Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия

  • Hatcher. The Kirby torus trick for surfaces

  • Благодарности

    Разработка данного курса поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС».