На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Введение в группы классов отображений (МГУ, весна 2024)


Лекции читаются очно по средам 18:30-20:05 в аудитории 1603 ГЗ МГУ. Первое занятие состоится 14 февраля. Видеозаписи лекций выкладываются здесь и здесь.

Вот чат в телеграме для слушателей курса, заходите. По всем вопросам можете писать в чат или на почту ryabichev@179.ru

Курс рассчитан на студентов 1–3 курса, но ходить могут все желающие. Курс можно зачесть в НМУ, для желающих в мае пройдёт письменный экзамен.


Лекции и задачи

Обратите внимание: в старых условиях задач могут исправляться опечатки

6 марта, лекция 4. Мы вспомним все нужные нам топологические факты про накрытия. С другой стороны, мы начнём говорить про геометрические структуры, а именно -- про римановы метрики постоянной кривизны на поверхностях.

28 февраля, лекция 3 (видео). Определения группы классов отображений. Примеры: диск, сфера с 1, 2 и 3 проколами, тор. Задачи к лекции 3.

21 февраля, лекция 2 (видео). Фундаментальная группа, гомоморфизмы индуцированные непрерывными отображениями, связь с накрытиями. Теорема Дена-Нильсена (формулировка), существование и гомотопическая единственность отображения поверхностей с заданным гомоморфизмом фундаментальных групп. Группы первых гомологий. Задачи к лекции 2.

14 февраля, лекция 1 (видео). Определения топологических и гладких многообразий, их эквивалентность в размерности 2. Связная сумма, теорема о классификации компактных ориентируемых поверхностей, эйлерова характеристика. Какие бывают кривые на поверхностях. Задачи к лекции 1.


Программа курса

Основным объектом, с которым мы будем работать в данном курсе, является замкнутая ориентируемая поверхность, то есть попросту сфера с ручками — то, с чего обычно начинают изучение топологии. Оказывается, несмотря на наглядность и простоту, на примере поверхностей можно изучить массу полезных приёмов и содержательных теорем из алгебраической и дифференциальной топологии.

Группа классов отображений Mod(S) поверхности S получается, если рассмотреть множество гомеоморфизмов S → S с точностью до изотопии. Инварианты этой группы, а также некоторых её подгрупп — активно развивающаяся область современной геометрической топологии. Мы начнём с базовых свойств поверхностей, и затем обсудим разные способы описать группу классов отображений (например, в терминах действия на комплексе кривых). Для понимания курса требуются минимальные знания алгебраической топологии — достаточно знакомства с понятием фундаментальной группы.

В целом курс следует первой части учебника [Farb, Margalit], с небольшими добавлениями из книги [Прасолов, Сосинский] и записок лекций [Lurie]. Он действительно вводный и будет интересен тем, кому нравится топология (на уровне непонятных картинок, гомотопий и всякого такого), но кто пока знает про группы классов отображений не очень много. Формат курса планируется близким к семинару, это будет не только рассказ у доски, но и обсуждения с аудиторией.

Примерный план:

  1. Классификация поверхностей. Гомеоморфизмы. Гомотопии. Теоремы Жордана и Шёнфлиса

  2. Фундаментальная группа. Гомоморфизмы фундаментальных групп, индуцированные непрерывными отображениями

  3. Группы классов отображений. Примеры (диск, кольцо, тор, тор с проколом)

  4. Накрытия. Универсальное накрытие и фундаментальная группа. Плоскость Лобачевского

  5. Движения плоскости Лобачевского. Поднятия кривых, геодезические

  6. Простые замкнутые кривые. Минимальное положение, критерий двуугольника

  7. Изотопии простых замкнутых кривых. Принцип замены координат

  8. Заполняющие кривые. Принцип Александера

  9. Скручивания Дена. Соотношение кос. Действие на числах пересечений. Центр Mod(S)

  10. Гомоморфизмы включения и заклеивания для групп классов отображений

  11. Гомоморфизм разрезания. Точная последовательность Бирман

  12. Порождение скручиваниями Дена

  13. Действие на комплексе неразделяющих кривых. Конечная порождённость

  14. Стягиваемость комплекса дуг. Конечная представимость. Образующие и соотношения

  15. Доказательство теоремы Дена-Нильсена

    Если останется время, в качестве дополнения мы обсудим трёхмерные многообразия, разбиения Хегора и диаграммы Хегора. Также, при наличии интереса слушателей, мы можем разобрать теорему Эдмондса о факторизации отображений поверхностей.

Литература

  • Farb, Margalit. A primer on mapping class groups

  • Lurie. Topics in Geometric Topology

  • Прасолов, Сосинский. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия

  • Благодарности

    Разработка данного курса поддержана грантом Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС».