[Лекция 1 (33K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (23K)|Лекция 4 (30K)
Лекция 5 (26K)|Лекция 6 (30K)|Лекция 7 (24K)|Лекция 8 (32K)
Лекция 9 (30K)|Лекция 10 (22K)|Лекция 11 (25K)|Лекция 12 (20K)]
[Лекция 1 (33K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (23K)|Лекция 4 (30K)
Лекция 5 (26K)|Лекция 6 (30K)|Лекция 7 (24K)|Лекция 8 (32K)
Лекция 9 (30K)|Лекция 10 (22K)|Лекция 11 (25K)|Лекция 12 (20K)]
Это спецкурс по теории линейных операторов в гильбертовом пространстве H (и шкалах гильбертовых пространств). Оператор A с дискретным спектром — это неограниченный оператор, имеющий непустое резольвентное множество \rho(A) на комплексной плоскости и компактную резольвенту R_A(\lambda)=(A-\lambda I)^{-1} при \lambda\in\rho(A). Спектр такого оператора состоит из не более чем счетного набора собственных значений, которые имеют конечные кратности и не имеют конечных предельных точек. Если оператор A_0 с дискретным спектром самосопряженный, то существует ортонормированный базис в H из его собственных векторов. Часто такой оператор имеет правильную степенную асимптотику собственных значений. Курс нацелен на две проблемы, которые интенсивно изучались в литературе: когда у оператора A, близкого к такому самосопряженному оператору A_0, собственные значения имеют аналогичную асимптотику, и когда при этом из корневых (собственных и присоединенных) векторов оператора A можно образовать систему, в том или ином смысле сохраняющую свойства базиса. Аналогичные вопросы будут рассмотрены для компактных операторов. Кроме того, будут рассмотрены операторы, далекие от самосопряженных, но с оптимальной оценкой \|R_A(\lambda)\|\le C(1+|\lambda|)^{-1} для нормы резольвенты в некотором угле на комплексной плоскости c вершиной в начале. Истоки этой теории содержатся в работах Т.Карлемана и М.В.Келдыша. Теоремы будут иллюстрироваться на модельных для этой теории задачах для эллиптических уравнений на компактных многообразиях, в частности, на задачах из классической математической физики. Например, только что упомянутая оценка для резольвенты характерна для операторов в частных производных, которые называют эллиптическими с параметром. Технический аппарат — ряд понятий и очень полезных, но часто непростых теорем, относящихся к теории линейных операторов и теории функций комплексного переменного; эти теоремы не сообщаются в обязательных курсах. Вспомогательный материал в основном будет приводиться без доказательств. Предполагаемая подготовка слушателей — первые два курса Мех-мата плюс начальные сведения из функционального анализа.
Сведения о лекторе можно найти на его сайте www.agranovich.nm.ru.
