А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)

Алгебра (первый курс, первый семестр) (Algebra, 1st year)

Лекции (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly with some versions of ghostview)

[Лекция 1 (127K)|Лекция 2 (135K)|Лекция 11 (34K)|Лекция 12 (34K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (127K)|Лекция 2 (135K)|Лекция 11 (34K)|Лекция 12 (34K)]

Листки (Exercise sheets)

Gzipped postscript (may be viewed directly with some versions of ghostview)

Zipped postscript

Предварительная программа

Комбинаторика конечных множеств: Число инъективных, сюрьективных и взаимно однозначных отображений из одного конечного множества в другое. Разбиения и диаграммы Юнга. Мультиномиальные коэффициенты.
Поля, коммутативные кольца, гомоморфизмы, факторкольца и идеалы: Поле $\CC$. Поля $\ZZ/p\ZZ$, простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. Поля вида $k[x]/(f)$, присоединение корня. Конечные поля. Примеры колец и гомоморфизмов: кольца функций, гомоморфизмы поднятия и вычисления, многочлены и формальные ряды. Идеалы и факторкольца. Простые и максимальные идеалы.
Делимость в кольцах: Простые и неприводимые элементы. Факториальные кольца, \nod. Лемма Гаусса: кольцо многочленов над факториальным кольцом факториально. Евклидовы кольца: $\ZZ$, $k[x]$, $\ZZ[i]$ и $\ZZ[\o]$; евклидовы кольца являются кольцами главных идеалов. Факториальность колец $\ZZ[x]$ и $k[x_1,...,x_n]$. Прямое произведение колец, китайская теорема об остатках.
Векторные пространства и матрицы: Определения и примеры векторных пространств. Линейная зависимость, базисы, размерности, координаты. Линейные замены базиса. Матричный формализм. Линейные оболочки и линейные уравнения. Двойственность.
Ориентированный объём и грассмановы многочлены: Ориентированный объём. Полилинейные косые формы. Определители. Алгебра многочленов от антикоммутирующих переменных: базисные мономы, правила коммутирования, знак перестановки, центр грассмановой алгебры. Блочно-диагональный вид грассмановой квадратичной формы. Линейная замена переменных в грассмановом многочлене: миноры и соотношения Сильвестра.
Линейные операторы, собственные векторы и собственные значения: Ядро, образ, двойственность, вычисление размерностей. Отыскание собственных векторов. Характеристический многочлен. Линейная независимость собственных векторов с разными собственными значениями. Аннулирующий многочлен оператора. Разложение аннулирующего многочлена на множители и разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств.
Модули, матрицы и метод Гаусса над евклидовым кольцом: Модуль над коммутативным кольцом. Образующие. Контрпримеры к теоремам о базисе и существованию дополнительного подмодуля. Свободные модули. Линейные отображения и матричный формализм, алгебра матриц. Тождество Гамильтона-Кэли (над произвольным коммутативным кольцом). Элементарные преобразования матриц и элементарные замены базисов, диагонализация матрицы над евклидовым кольцом элементарными преобразованиями строк и столбцов. Строение конечно порождённых модулей над евклидовым кольцом: взаимные базисы модуля и подмодуля, элементарные делители и инвариантные множители, разложение модуля в сумму свободного и циклических. Примеры: строение конечно порождённых $\ZZ$-модулей, число элементов в факторе решётки по подрешётке.
Формальные степенные ряды: Формальные операции над формальными рядами: сложение, умножение, обратимые элементы алгебры степенных рядов, интегрирование, дифференцирование, замена переменной и её обращение. Формальные разложения элементарных функций: рациональные функции, экспонента, логарифм, бином с произвольным показателем, корни $t(x)$ многочленов $f\in k[[x]][t]$.
Алгебра симметрических функций: Формулы Виета и результант для пары однородных бинарных форм (или для многочленов от одной переменной). Стандартные базисы модуля симметрических функций, их производящие ряды и свойства матриц перехода.