По сравнению с тем, что было на Web-странице во время семестра, произошли следующие изменения:
[Лекция 1 (101 K)|Лекция 2 (124 K)|Лекция 3 (182 K)|
Лекция 4 (215 K)|Лекция 5 (191 K)|Лекция 6 (178 K)|
Лекция 7 (170 K)|Лекция 8 (130 K)|Лекция 9 (167 K)]
[Лекция 1 (33 K)|Лекция 2 (37 K)|Лекция 3 (53 K)|
Лекция 4 (62 K)|Лекция 5 (55 K)|Лекция 6 (53 K)|
Лекция 7 (50 K)|Лекция 8 (39 K)|Лекция 9 (51 K)]
Комплексы, гомологии, гомотопии. Конус морфизма.
Определение предпучков и пучков. Sheafication. Ядро, коядро и образ морфизма. Точные последовательности пучков.
Локально свободные пучки и векторные расслоения. Обратимые пучки. Дивизоры и линейные системы. Линейная и проективная нормальность.
Формальные свойства теории когомологий. Определение и основные свойства когерентных пучков. Соответствие Серра. Когомологии Чеха. Комплекс Кошуля. Когомологии обратимых пучков на проективном пространстве (серровское явное вычисление).
Теорема конечности. Теорема B Серра. Проективная нормальность полных пересечений. Многочлен Гильберта. Теорема Безу.
Вялые пучки. Резольвенты Годемана. Ассоциированные простые идеалы. Структура инъективных модулей. Эквивалентность определений когомологий по Чеху и по Годеману для когерентных пучков. Когомологии пучка как прямой предел (определение "по Вердье"). Двойные комплексы. Отмеченные треугольники и их свойства. Совпадение когомологий "по Вердье" и "по Годеману".
При решении этих задач не обязательно пользоваться только материалом, изложенным в лекциях. Предполагается, что экзаменующиеся представят решения в письменном виде и обсудят их с лектором. Для получения оценки ``хорошо'' достаточно было решить любые 5 задач, на ``отлично'' - 7 задач.
1. Пусть $X\subset P^2$ - объединение трех прямых, рассматриваемое как топологическое пространство с топологией Зарисского (основное поле алгебраически замкнуто). Найдите когомологии $H^i(X, Z)$ для всех~$i$ (через Z обозначен постоянный пучок со слоем ``группа целых чисел'').
2. Пусть F - пучок гармонических функций на комплексной плоскости (то есть F(U) - множество всех гармонических функций на U; комплексная плоскость C рассматривается в классической топологии). Найдите H^i(C, F) для всех i>0.
3. Пусть $P^n$ вложено в $P^{n+1}$ как гиперплоскость, $X\subset P^n$ - проективное многообразие, $Y \subset P^{n+1}$ - конус над X с вершиной в точке, лежащей в $P^{n+1} \setminus P^n$. Покажите, что для всех m>1 выполнено равенство
H^m(Y, O_Y)=\sum _{j>0} H^{m-1} (X, \O_X(j)),
а для m=1 выполнено равенство
H^1(Y,O_Y)=\sum_{j>0} dim coker (H^0(O_{P^n}(j)) \to H^0(O_X(j))).
4. Пусть X и Y такие же, как в предыдущей задаче. Покажите, что конус Y проективно нормален (то есть что гомоморфизмы
H^0(P^{n+1}, O_{P^{n+1}}(r)) \to H^0(Y, O_Y(r))
будут эпиморфизмами для всех r>0).
5. Пусть X и Y - кривые на проективной плоскости, задаваемые уравнениями F=0 и G=0 соответственно, где F и G - два неприводимых многочлена от x_0, x_1 и x_2. Предположим, что кривые X и Y трансверсальны. Покажите, что всякий однородный многочлен H, обращающийся в нуль всюду на пересечении X Y, представляется в виде H=AF+BG, где A и B - однородные многочлены.
6. Пусть $X\subset P^n$ - множество из четырех точек и $I_X \subset \O_{P^n}$ - его пучок идеалов. Найдите $H^1(I_X(r))$ для всех $r\geqslant 0$.
7. Пусть $X\subset P^1$ - множество из m точек, $I_X \subset \O_{P^1}$ - его пучок идеалов. Тогда имеет место точная последовательность
0 \to I_X(m-2) \to O_{P^1}(m-2) \to O_X(m-2) \to 0,
где $O_X=O_{P^1}/I_X$. Опишите в явном виде гомоморфизм
$H^0(\O_X(m-2)) \to H^1(I_X(m-2))$, проистекающий из этой точной
последовательности (при описании воспользуйтесь отождествлением
$I_X(m-2)$ и $O_{P^1}(-2)$).
8. Пусть A - целостное кольцо и K - его поле частных. Покажите, что K является инъективным модулем над A.
9. Рассмотрим кольца $A=k[x,y]/(x^2,y^3)$ и $B=k[x,y]/(x^2, xy, y^2)$ (через k обозначено некоторое поле). Будет ли какое-либо из этих колец инъективным модулем над собой?
