Иван Владимирович Аржанцев

Алгебра-3

Листки (Exercise sheets).pdf

Программа:

Алгебраические подмножества и регулярные функции, аффинные алгебраические многообразия.
Конечно порожденные идеалы и модули, главные идеалы и циклические модули, нетеровы кольца, теорема Гильберта о базисе.
Радикал идеала, теорема Гильберта о нулях: слабая и сильная формы, описание максимальных идеалов и гомоморфизмов в поле, кольца Джекобсона.
Морфизмы и изоморфизмы многообразий, характеризация алгебр регулярных функций.
Топологическое пространство, база топологии и индуцированная топология. Топология Зарисского и главные открытые подмножества. Связность и неприводимость, разложение на неприводимые компоненты.
Характеризация доминантных морфизмов и замкнутых вложений, открытые и замкнутые морфизмы.
Простые и неприводимые элементы, простые и примарные идеалы, примарное разложение идеала (только формулировка).
Порядки на мономах, лемма Гордана, мономиальные порядки, примеры, стабилизация убывающих цепочек мономов, лемма о старшем члене. Сумма Минковского и многогранник Ньютона.
Операторы редукции и алгоритм деления. Нормальные многочлены и нормальные формы. Идеал старших членов и базис Гребнера идеала.
S-многочлен, критерий и алгоритм Бухбергера, минимальный и универсальный базисы Гребнера, Diamond Lemma.
Приложения базисов Гребнера: 12 алгоритмических задач.
Прямое произведение многообразий. Тензорное произведение модулей и алгебр. Расслоенное произведение многообразий.
Целые и алгебраические элементы, целые и конечные расширения, поле частных и целозамкнутые кольца. Лемма Нетер о нормализации и конечная порожденность целого замыкания.
Конечные морфизмы. Лемма Накаямы. Геометрическая интерпретация леммы Нетер о нормализации. Нормальные многообразия и нормализация.
Базис трансцендентности алгебры, размерность аффинного многообразия, размерность и подмногообразия, прямые произведения, и доминантные морфизмы. Теорема Крулля и размерность Крулля. Гиперповерхности, простые дивизоры и полные пересечения. Высота идеала и теорема Крулля о главных идеалах (только формулировка).
Инварианты групп автоморфизмов. Конечная порожденность алгебры инвариантов конечной группы: три доказательства. Оператор усреднения. Теорема Нетер.
Алгебры Ли, дифференцирования алгебры, описание дифференцирований алгебры многочленов. Присоединенный оператор и внутренние дифференцирования алгебр Ли. Коммутативные и простые алгебры Ли. Центр и коммутант.
Представления алгебр Ли, тривиальное, тавтологическое и присоединенное представления. Двойственной представление и тензорное произведение представлений. Приводимые и вполне приводимые представления.
Описание неприводимых представлений алгебры Ли $\sl_2(\CC)$. Старший вес и старший вектор. $\sl_2$-тройки.
Кратные коммутанты и разрешимые алгебры Ли. Критерий Картана (только формулировка). Радикал алгебры Ли. Полупростые алгебры Ли. Форма Киллинга, ее ассоциативность. Разложение полупростой алгебры Ли в сумму простых идеалов.
Лемма Шура, элемент Казимира, теорема Вейля о полной приводимости. Формула Клебша-Гордана.