В.В.Доценко (V.Dotsenko)

Алгебра, 3 семестр (Algebra, 3rd semester)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

Zipped postscript

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (44K)|Zipped postscript (17K)]

Второй домашний экзамен (Second take-home exam)

[Postscript (34K)|Zipped postscript (14K)]

Программа

Темы, отмеченные звёздочкой (*), знать скорее почётно, чем обязательно. В темах, отмеченных ромбиком (♦), нужно знать, в чём состоят основные результаты (возможно, без доказательств). В остальных вопросах нужно знать и идеи доказательств, при необходимости востанавливать технические подробности.

Окончание семестра:

16 ноября состоится последняя лекция, за которой последует консультация;
23 и 30 ноября, а также 7 декабря состоится зачёт;
на неделе 13-20 декабря состоится домашний экзамен.

Теория Галуа.
1. Расширения полей. Присоединение корня многочлена. Поле разложения.
2. Конечные поля, их классификация и автоморфизмы.
3. Неприводимость многочленов деления круга. Круговые поля, их автоморфизмы.
4. Нормальные и сепарабельные расширения. Теорема о примитивном элементе.
5. Расширения Галуа. Группа Галуа.
6. Норма и след элемента в расширении, их выражение через группу Галуа.
7. Симметрические функции. Основная теорема о симметрических функциях с точки зрения теории Галуа.
8. Применения симметрических функций.
  1. Результант, дискриминант. Формула [Сильвестра] для результанта.
  2. * Теорема Безу, ее применение для доказательства теоремы Паскаля.
9. Алгоритм вычисления группы Галуа. Построение циклических подгрупп в группе Галуа многочлена с целыми коэффициентами с помощью редукции по простым модулям. Дискриминант и критерий того, что группа Галуа является подгруппой знакопеременной группы.
Разрешимые группы. Эквивалентные определения.
Приложения теории Галуа.
1. Построения циркулем и линейкой.
2. Разрешимость в радикалах.
  1. Случай, когда основное поле содержит нужные корни из единицы.
  2. * Корни из единицы выражаются "в неприводимых радикалах" (через корни уравнений $x^p-a$, $p$ — простое, $a$ не является $p$-ой степенью).
3. Основная теорема алгебры.
Алгебры.
1. Свободная ассоциативная алгебра. Эквивалентные определения (две конструкции, универсальное свойство).
2. Задание алгебр образующими и соотношениями. Примеры.
  1. Две образующих и полная система соотношений для матричной алгебры.
  2. * Алгебры Клиффорда (над разными полями).
  3. Алгебра дифференциальных операторов.
3. Простые и полупростые алгебры.
  1. Простые конечномерные алгебры. Противоположная алгебра. Изоморфизм $\End_A(A)\simeq A^{opp}$. Теорема о структуре простых алгебр (в том числе теорема единственности).
  2. Полупростота. Эквивалентные определения полупростого модуля. Теорема о структуре полупростых алгебр.
  3. Любой модуль над полупростой алгеброй полупрост. Классификация представлений полупростой алгебры.
4. Центральные простые алгебры (ц.п.а.).
  1. Замкнутость множества ц.п.а. относительно тензорного умножения. Отношение эквивалентности на множестве ц.п.а. Группа Брауэра.
  2. Автоморфизмы. Теорема Сколема-Нетер.
  3. Формула для централизатора $Z_A(B)=\End_{B\otimes A^{opp}}(A)$.
  4. Теорема о двойном централизаторе для ц.п.а. (простота, размерность, центральность в случае центральной подалгебры).
  5. Размерность центрального тела есть квадрат (размерности максимального подполя).
  6. Теорема Веддерберна (конечное тело коммутативно).
  7. Теорема Фробениуса (классификация тел над~$\mathbb{R}$).
  8. Поле расщепления. Строго максимальное подполе как поле расщепления. Вложение поля расщепления для~$A$ в алгебру, эквивалентную~$A$, в качестве строго максимального подполя.
  9. ♦ Существование поля расщепления, являющегося расширением Галуа.
  10. Системы факторов и скрещенные произведения. Условие эквивалентности двух скрещенных произведений. Биекция между группой классов систем факторов (для расширения Галуа~$E:F$) и подгруппой $\Br_E(F)\subset \Br(F)$.
  11. ♦ Теорема о произведении.
  12. Периодичность группы $\Br(F)$ для любого поля~$F$ (вывод из теоремы о произведении).
  13. Циклические алгебры в случае поля, содержащего нужные корни из единицы. Символ $a_\xi(a,b)$, кососимметричность, билинейность, соотношение Стейнберга.
  14. Изоморфизм $\Br_E(F)\simeq F^*/N_{E/F}(E^*)$ для циклического расширения~$E$. Символ $a_\xi(a,b)$ как символ норменного вычета.
  15. Норма, след, характеристический многочлен элемента ц.п.а. Приведенная норма, корректность определения.
  16. Критерий обратимости элемента ц.п.а. Альтернативное доказательство теоремы Веддерберна.
  17. ♦ Поле $\mathbb{Q}_p$. Принцип Хассе. Группы $\Br(\mathbb{Q}_p)$, $\Br(\mathbb{Q})$.