В осеннем семестре 2005 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
| Осень, 2000 | Весна, 2001 | Осень, 2001 | Весна, 2002 |
| Осень, 2002 | Весна, 2003 | Осень, 2003 | Весна, 2004 |
| Осень, 2004 | Весна, 2005 |
Пятница, 9 декабря 2005, 17.00, ауд. 206
Предполагается дать обзор результатов о группах отражений в пространствах Лобачевского в терминах фундаментальных областей --- многогранников Кокстера. Также будет рассказано о возникающих комбинаторных задачах и некоторых приложениях.
Пятница, 2 декабря 2005, 17.00, ауд. 206
Алгебраическая кривая y^n+p(x)y^m+q(x)=0, где p и q -- многочлены, называется y-трёхчленной, или, короче, трёхчленной кривой. Если deg p не больше k(n-m) и deg q не больше kn, то её можно рассматривать как кривую бистепени (0,n) на поверхности Хицебруха S_k. Кривая называется неособой, если её дискриминант по y не имеет кратных корней и его степень равна kn(n-m). Докладчик изучает жёсткие изотопии неособых вещественных трёхчленных кривых, то есть пути в пространстве неособых вещественных трёхчленных кривых с заданными k,m,n. Получена жёсткая изотопическая классификация двух классов таких кривых: со всюду отрицательным дискриминантом и кривых с максимальным числом овалов. Классификация формулируется в терминах "dessins d'enfant" Гротендика.
Пятница, 25 ноября 2005, 17.00, ауд. 206
Будет рассказана вторая часть доказательства Казаряна-Ландо, в которой уравнение КП для чисел Гурвица преобразуется в уравнение КдФ для индексов пересечений.
Пятница, 18 ноября 2005, 17.00, ауд. 206
В докладе будет рассказано как с помощью когомологий алгебр Ли получать высшие операции Масси на сизигиях (соотношениях, соотношениях между соотношениями). Конструкции такого типа последнее время активно используются в мат.физике (см. Мовшев, Берковиц). Будет расказано также, как с помощью таких рассмотрений посчитать высшие соотношения, например, для грассманиана 2-мерных плоскостей.
Пятница, 11 ноября 2005, 17.00, ауд. 206
Две кососимметрические операции, удовлетворяющие условию, что любая их линейная комбинация удовлетворяет тождеству Якоби, называются парой согласованных скобок. Можно рассмотреть свободный объект, порожденный этими операциями и набором образующих $a_1,...,a_n$. Полилинейная часть этого объекта обладает естественным действием симметрической группы. Интерестный вопрос состоит в распознании этого представления. Например, его размерность равна $n^{n-1}$. Для решения этого вопроса была привлечена теория кошулевых операд, которая позволила написать характер этого представления в терминах значений на классах сопряженности. Собственно эта техника и будет рассказана на семинаре с необходимыми определениями и примерами.
Пятница, 4 ноября 2005, 17.00, ауд. 206
В докладе речь пойдёт о задаче, поставленной ещё Клебшем и Люротом более 130 лет назад: каковы классы эквивалентности разветвлённых накрытий сферы, если разрешается действовать гомеоморфизмами как на накрывющую, так и на накрываемую поверхности? Тот же вопрос можно рассматривать как задачу о классификации орбит действия группы кос на "констелляциях", т.е. на последовательностях перестановок, задающих монодромию накрытий (1970). Прогресс в решении этой задачи до сих пор весьма незначителен даже если ограничиться только многочленами (т.е. накрытиями рода 0 с единственным полюсом), но в последние 10 лет наконец-то появились некоторые правдоподобные гипотезы. Три фактора позволили сдвинуться с мёртвой точки: (а) перечислительная формула для планарных констелляций (1992); полная классификация примитивных групп монодромии многочленов (1996); массивный компьютерный счёт (1996--??). В докладе будет дан обзор этого круга вопосов.
Пятница, 28 октября 2005, 17.00, ауд. 206
Гипотеза Виттена, впервые доказанная Концевичем, предсказывает некоторые числа пересечений на компактифицированном пространстве модулей комплексных кривих с отмеченными точками. В настоящее время имеется несколько доказательств этой гипотезы, использующие совершенно различные и несвязанные между собой подходы. Одно из этих доказательств, принадлежащее М.Мирзахани, и будет обсуждаться на семинаре.
Подход Мирзахани основан на гиперболической геометрии и исследовании геодезического потока метрик постоянной кривизны на поверхностях. Соотношения Виттена-Концевича получаются сами собой как побочный продукт вычисления объемов Вейля-Петерсона пространств модулей. Согласно слухам, сам Концевич признал это доказательство как одно их наиболее естественных (вопреки собственному).
Пятница, 21 октября 2005, 17.00, ауд. 206
We present an area-ordering prescription which naturally generalizes the well known path ordering one of the gauge connections in the standard theory of fiber bundles. For such a prescription it is natural that the two-form ``connection'' should carry three ``color'' indices rather than two as it is in the case of the ordinary one--form gauge connection. To define the prescription in question we have to define how to exponentiate matrices with three indices. The definition uses the fusion rule structure constants and is related to the two-dimensional topological theories. The talk is based on the following papers: hep-th/0506032, hep-th/0504160, hep-th/0503234.
Пятница, 14 октября 2005, 17.00, ауд. 206
Будет рассмотрена взаимосвязь между вполне интегрируемыми иерархиями и гиперболическими лагранжевыми уравнениями лиувиллевского типа.
Интегрируемые иерархии, по определению (Дубровин), --- это бесконечные последовательности коммутирующих бигамильтоновых потоков, заданных посредством схемы Магри по набору гамильтонианов в инволюции. Примеры: KdV или mKdV, уравнения Дринфельда-Соколова.
Лиувиллевы уравнения --- это гиперболические квазилинейные системы u_{xy}=f(u_x,u_y,u,x,y), для которых ядра \ker d/dx и \ker d/dy (производные ограничены на уравнение) нетривиальны; дифференциальные генераторы этих ядер называются "интегралами" (В.В.Соколов). Примеры: двумерные цепочки Тоды, ассоциированные с комплексными полупростыми алгебрами Ли.
В докладе будут описаны алгебры нетеровых симметрий лиувиллевских систем, заданные их интегралами. Далее будут рассматриваться интегрируемые иерархии, заданные коммутативными подалгебрами Ли нетеровых симметрий уравнений лиувиллевского типа. Окажется, что такой подход позволяет задавать канонические переменные и представлять иерархии в форме канонических уравнений движения; одновременно, интегралы оказываются подстановками Миуры (гипотеза Соколова состоит в том, что вообще все преобразования Миуры происходят из интегралов лиувиллевых систем).
Итак, известные интегрируемые уравнения класса KdV связаны с лиувиллевскими системами, а по известным из двумерной теории поля лиувиллеским уравнениям можно строить новые вполне интегрируемые иерархии.
Рекурсии для лиувиллевских систем --- по совместительству и рекурсии интегрируемых иерархий их нетеровых симметрий. Будет доказано, что эти рекурсии слабоо нелокальны, т.е. их "нелокальная" часть с (d/dx)^{-1} всегда допускает некоторую крайне полезную факторизацию.
Также мы обсудим, каким именно способом свойства иерархий переносятся на модифицированные иерархии (подстановки Миуры заданы интегралами). В частности, будет дано определение скобки Жибера-Соколова на градиентах гамильтонианов и станет понятно, как задано одно из естественных обобщений гамильтоновых операторов для интегрируемых уравнений.
Пятница, 7 октября 2005, 17.00, ауд. 206
В докладе предполагается расказать про зеркальную симметрию с гомологической точки зрения и об ее обобщении на случай, когда многообразие уже не является многообразием Калаби-Яу. В этих случаях в качестве зеркально симметричных объектов появляются модели Ландау-Гинзбурга. Предполагается описать категории D-бран в моделях Ландау-Гинзбурга, рассказать про их основные свойства и привести соответствующие примеры.
Пятница, 30 сентября 2005, 17.00, ауд. 206
У гипотезы Виттена, неоднократно обсуждавшейся на семинаре, имеется обобщение, в котором участвуют интегралы по пространству модулей r-спин структур (то есть по пространству пар риманова поверхность + корень r-той степени из кокасательного расслоения к ней).
На докладе мы расскажем про обобщение формулы ELSV, связывающее некоторые числа Гурвица с интегралами по пространствам модулей r-спин структур. При этом, связь этой формулы с гипотезой Виттена не установлена, а сама формула не доказана, так что доклад будет состоять из одних гипотез.
Доклад будет во многом повторять то, что было рассказано на семинаре Казаряна-Ландо, но мы постараемся сделать больший упор на геометрию пространств r-спин структур.
Пятница, 23 сентября 2005, 17.00, ауд. 206
Предлагается новое доказательство гипотезы Виттена, основанное на связи между числами Гурвица, перечисляющими разветвленные накрытия сферы с предписанными порядками ветвления, и числами пересечений на пространствах модулей кривых. Показано, что производящая функция для чисел Гурвица удовлетворяет уравнению Кадомцева-Петвиашвили.
Пятница, 16 сентября 2005, 17.00, ауд. 206
The first instances of algebraic and topological strongly homotopy, or infinity, structures have been discovered by Stasheff long ago. Since that time infinities have acquired a prominent role in algebraic topology and homological algebra. We shall argue in the lecture that some classical local geometries are of infinity origin, i.e. their smooth formal germs are representations of free differential graded PROPs in spaces concentrated in degree zero; in particular, they admit natural infinity generalizations. The simplest manifestations of this phenomenon are provided by the Poisson and Nijenhuis geometries. Which will the main theme of the lecture.
