Лекция 1:
Вместо пролога: Необходимые предварительные сведения и терминология, относящиеся к множествам и отображениям. Разбиения и
факторизация. Диаграммы Юнга. Мультиномиальные коэффициенты и прочая комбинаторика. (PDF, 156 Kb [обновлено 19.09.2013])
Лекция 2:
Определения и терминология, относящиеся к полям, коммутативным кольцам и абелевым группам. Простейшие свойства
гомоморфизмов. Прямые произведения абелевых групп и колец. Кольца и поля вычетов. Китайская теорема об остатках, нод и
взаимная простота в кольце целых чисел. Простое подполе, характеристика, гомоморфизм Фробениуса. (PDF, 168 Kb [обновлено
19.09.2013])
Лекция 3:
Многочлены и формальные степенные ряды. Делимость и китайсткая теорема об остатках в кольце многочленов. Корни
многочленов. Кольца вычетов K[x]/(f) и алгебраические расширения полей. Поле комплексных чисел. Конечные поля.
Квадратичные вычеты. (PDF, 246 Kb [обновлено 19.09.2013])
Лекция 4:
Кольца частных, поле рядов Лорана, поле рациональных функций, разложение
рациональных функций в сумму простейших дробей и в степенной ряд. Решение
линейных рекуррентных уравнений. Экспонента, логарифм, бином (с произвольным,
показателем). Ряд Тодда и числа Бернулли, суммирование степеней. Ряды Пюизо,
лемма Гензеля и метод Ньютона.
Лекция 5:
Идеалы и фактор кольца. Нётеровы кольца, теорема Гильберта о
базисе идеала. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальные
кольца. Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом.
Разложение на множители многочленов с целыми коэффициентами.
Лекция 6:
Векторные пространства, базисы, размерность. Линейные
отображения, размерность ядра и образа. Подпространства, размерность суммы и
пересечения. Прямые суммы и прямые произведения пространств и
подпространств. Аффинные пространства и их аффинные подпространства. Фактор
пространства. Линейная оболочка как фактор.
Лекция 7:
Двойственное пространство, двойственные базисы, отождествление
конечномерного пространства с дважды двойственным. Двойственность между
аннуляторами, качественная теория систем линейных уравнений. Двойственные
операторы, аннулятор ядра и образа, теорема о ранге матрицы. Расположение
подпространства по отношению к базису, приведение матрицы к строгому
ступенчатому виду методом Гаусса, отыскание балиса в линейной оболочке и в
факторе по линейной оболочке, решение систем линейных уравнений..
Лекция 8:
Алгебры над полем. Алгебра матриц. Матрицы перехода и матрицы
операторов. Обратимые матрицы, отыскание обратной матрицы методом Гаусса.
Матрицы над (некоммутативным) кольцом, обратимость верхних унитреугольных
матриц.
Лекция 9:
Ориентированный объём. Полилинейные косые формы. Свойства
определителей. Миноры. Грассмановы многочлены. Соотношения Лапласа.
Присоединённая матрица, формула для обратной матрицы. Правила Крамера.
Лекция 10:
Модули над коммутативными кольцами, образующие и соотношения.
Факторизация по идеалу кольца, ранг свободного модуля. Модули над кольцами
главных идеалов, теоремы об элементарных делителях и об инвариантных
множителях. Пример: строение конечнопорождённых абелевых групп.
Лекция 11:
Классификация пространств с оператором над произвольным полем.
Характеристический и минимальный многочлены. Нильпотентные и полупростые
операторы. Циклические векторы. Собственные векторы, собственные значения и
диагонализуемые операторы. Разложение пространства в сумму инвариантных
подпространств по разложению аннулирующего многочлена на множители.
Жорданова нормальная форма, разложение Жордана и корневое разложение над
алгебраически замкнутым полем. Алгебраическое вычисление гладких комплексных
и функций от операторов.
Листок 1 (выдавался 4 сентября): элементы комбинаторики
Листок 2 (выдавался 4 сентября): примеры полей и коммутативных колец
Листок 3 (выдавался 11 сентября): многочлены, деление с остатком, китайская теорема об остатаках
Листок 3 1/2 (необязательный, доступен с 19 сентября): квадратичный закон взаимности
Листок 3 2/3 (необязательный, доступен с 19 сентября): обращение Мёбиуса
Листок 4 : элементарные функции и степенные ряды
Листок 5 : идеалы, фактор-кольца и делимость
Листок 6 : векторные пространства
Листок 10: пространства с оператором
Задания делятся на обязятельные и дополнительные, решение которых почётно, но не обязательно. К дополнительным задачам, по определению, относятся все задачи из листков с дробными номерами, а также помеченные звёздочкой задачи из листков с целыми номерами. Все остальные задачи обязательные. Задачи можно решать в любом порядке в течение всего семестра, вплоть до первого итогового экзамена.
Решения необходимо записывать. Сдавать решённые задачи можно только специально авторизованным для этого преподавателям одним из следующих двух способов:
