Валерий Константинович Белошапка, Александр Игоревич Буфетов

Программа курса

Первый блок: Элементарная геометрия Лобачевского.

1. Вводная лекция. История геометрии. Начала Евклида. Пятый постулат. Сферическая геометрия. Геометрия Лобачевского. Эрлангенская программа Клейна. Геометрия бесконечного дерева — геодезические, орициклы, граница.

2. Комплексные числа в геометрии. Пополнение плоскости — комплексная сфера, стереографическая проекция. Линейные и дробно-линейные преобразования и их свойства.

3. Классификация движений плоскости Лобачевского.

Второй блок: Аффинная и проективная геометрия в размерности один, два и три

4. $d=1$: прямая $\mathbb R^1$, проективная прямая $\mathbb RP^1$. Движения $T(1,\mathbb R)$, линейные $GL(1,\mathbb R)$, $SL(1,\mathbb R)$, $O(1)$, аффинные $\operatorname{Aff}(1,\mathbb R)$ и проективные преобразования $PSL(1,\mathbb R)$ и их размерности, орбиты, инварианты и дискретные подгруппы, совпадения. Окружность $S^1$: три реализации ($\mathbb R/\mathbb Z$, $|z|=1$, $\mathbb RP^1$), карты-переходы.

5. $d=2$: плоскость $\mathbb R^2$. Движения $T(2,\mathbb R)$, линейные $GL(2,\mathbb R)$, $SL(2,\mathbb R)$, $O(2)$, аффинные $\operatorname{Aff}(2,\mathbb R)$. Комплексная структура на $\mathbb R^2=\mathbb C^1$, $GL(1,\mathbb C)$, $SL(1,\mathbb C)$, $U(1)$, $Sp(1)$. Вещественная проективная плоскость, комплексная проективная прямая, отвечающие им группы, карты, переходы, инварианты. Проективные преобразования, двойное отношение. Проективные метрики, проективная интерпретация Клейна плоскости Лобачевского.

6. $d=3$: пространство $\mathbb R^3$. Движения $T(3,\mathbb R)$, линейные $GL(3,\mathbb R)$, $SL(3,\mathbb R)$, O(3), аффинные $\operatorname{Aff}(3,\mathbb R)$. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проективное пространство, карты, переходы, инварианты, ориентация, подпространства размерностей 1 и 2.

Третий блок: Группы и геометрия

7. Фуксовы группы. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике.

8. Группа движений пространства Лобачевского. Клейновы группы.

9. Геометрия дискретных групп. Гиперболичность по Громову.

10. Примеры групп Ли. SU(2) и SO(3). Кватернионы.

Четвёртый блок: Геометрия $\mathbb R^4=\mathbb C^2=\mathbb H^1$

11. $d=4$: пространство $\mathbb R^4$, подпространства, шар и сфера, куб и его грани, выпуклые многогранники. Группы: $GL(4,\mathbb R)$, $SL(4,\mathbb R)$, $O(4)$, $SO(4)$, движения, $Aff(3,\mathbb R)$. Измерение расстояний и объемов, ориентация. $\mathbb R^4$ как $\mathbb C^2$, бидиск и шар, комплексные прямые и двумерные плоскости, комплексная часть вещественной гиперплоскости, $GL(2,\mathbb C)$, $U(2)$, $SU(2)$, $Sp(2)$.

12. Компактификации. $\mathbb RP^4$ и $PSL(4,\mathbb R)$, стереографическая проекция, $\mathbb CP^2$ и $PSL(2,\mathbb C)$, $\mathbb C^1\times\mathbb C^1$, карты-переходы. Многообразия Грассманна $Gr(2,\mathbb R^4)$ и $Gr(1,\mathbb C^2)$, размерности, карты, переходы. Алгебраические множества и их замыкания, примеры.

13. Пространства Минковского в размерностях 2, 3 и 4. Группы Лоренца $O(1,1)$, $O(1,2)$, $O(1,3)$. Специальная теория относительности. Группы $U(1,1)$ и $U(1,2)$.

14. Различные реализации шара и сферы в $\mathbb C^2$, распределение комплексных касательных. Проективные автоморфизмы шара. Проективные автоморфизмы бидиска в $\mathbb C^1\times\mathbb C^1$.

*Дополнительные лекции (программа с превышением):

1. Выпуклость, крайние точки, теоремы Хана-Банаха и Крейна-Мильмана.

2. Принцип аргумента для рациональных функций одного комплексного переменного. Приращение аргумента вдоль кривых, связь с числом нулей в области. Рациональные функции как отображение сферы в себя, нули и полюса. Основная теорема алгебры.