С.М.Львовский (S.Lvovski)

Комплексный анализ (Complex analysis)

Упражнения (Exercises)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

Zipped postscript

Экзамен (Exam)

[Postscript (25K)|Zipped postscript (11K)]

Программа курса

1. Голоморфные функции: Различные определения голоморфности. Теорема об обратной фукнции. Теорема Коши.
2. Вокруг формулы Коши: Формула Коши. Интегральная формула для производной. Почленное дифференцирование. Аналитичность голоморфных функций. Теорема Морера.
3. Локальные свойства: Кратность нуля. Принцип аналитического продолжения (теорема единственности). Ряд Лорана. Изолированные особые точки.
4. Применения локального анализа: Характеризация многочленов и теорема Лиувилля. Принцип сохранения области. Ветвление. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. Группы автоморфизмов круга, полуплоскости и комплексной плоскости.
5. Римановы поверхности: Определение. Сфера Римана. Мероморфные функции и отображения в сферу Римана. Эллиптические кривые. Пучок голоморфных функций и аналитическое продолжение. Накрытия (неразветвленные) римановых поверхностей.
6. Риманова поверхность алгебраической функции: Конструкция. Структура разветвленных накрытий.
7. Эллиптические функции: $\wp$-фукнция Вейерштрасса. Соотношение между $\wp$ и ее производной. Эллиптическая кривая как риманова поверхность алгебраической функции.
8. Классификация эллиптических кривых: Критерий изоморфности эллиптических кривых. Нормальная форма Вейерштрасса. Инварианты $k^2$ и j.
9. Теорема Римана об отображении: Конформное отображение как решение экстремальной задачи. Принцип аргумента. Теорема Монтеля.
10. Гиперболическая метрика и теорема Пикара: Инвариантная метрика на единичном круге. Теорема об униформизации (без доказательства). Инвариантная метрика на гиперболических поверхностях. Геометрический смысл леммы Шварца. Применение: большая теорема Пикара.