В весеннем семестре 2006 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
| Осень, 2000 | Весна, 2001 | Осень, 2001 | Весна, 2002 |
| Осень, 2002 | Весна, 2003 | Осень, 2003 | Весна, 2004 |
| Осень, 2004 | Весна, 2005 | Осень, 2005 |
В пятницу, 23 июня 2006, 17.00, ауд. 206 состоится внеочередное заседание семинара
Turbulence is the property of the fluid motion at high Reynolds numbers. This means that the fluid viscosity is small, the velocity is high, and the size of the flow domain is big. Experiments show that in the limit of infinite Reynolds number there is a meaningful limit behavior of the flow. It is believed to be described by some sort of a weak (generalized) solution of the Euler equations, which are the Navier-Stokes equations with vanishing viscosity. By now there is just a few nontrivial examples of weak solutions, and there is a very poor understanding of their properties. The talk will give an overview of what is known today. No preliminary knowledge is required.
В пятницу, 16 июня 2006, 17.00, ауд. 206 состоится внеочередное заседание семинара
Theorem. Let M be a compact, connected, oriented smooth Riemannian n-manifold with non-empty boundary. Then the cohomology of the complex (Harm*(M),d) of harmonic forms on M is given by the direct sum
Hp(Harm*(M),d) = Hp(M;R) + Hp=1(M;R)
for p=0,1,...,n.
When M is a closed manifold, a form is harmonic if and only if it is both closed and co-closed. In this case, all the maps in the complex (Harm*(M),d) are zero, and so Hp(Harm*(M),d) = Harmp(M) = Hp(M;R) according to the classical theorem of Hodge.
By contrast, when M is connected and has non-empty boundary, it is possible for a p-form to be harmonic without being both closed and co-closed. Some of these, which are exact, although not exterior derivatives of harmonic p-1-forms, represent the "echo" of the ordinary p-1-dimensional cohomology within the p-dimensional harmonic cohomology that appears in the above theorem.
This talk represents joint work with Sylvain Cappell, Dennis DeTurck and Edward Y. Miller.
The paper can be found at Math ArXiv, math.DG/0508372
Пятница, 28 апреля 2006, 17.00, ауд. 206
Теорема Ван дер Вардена утверждает: если множетство целых чисел раскрашено в конечное число цветов, то существует одноцветная арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины.
Эту теорему Ван дер Варден доказал в 1927 году. Сам Ван дер Варден это утверждение называет гипотезой П.Боде (P.Baudet), но Р.Грэхем считает, что впервые её сформулировал И.Шур (I.Schur). Доказательство Ван дер Вардена элементарно, но достаточно сложно.
Попытки упростить это доказательство привели к её многомерному обобщению. Оказалось, что в многомерном случае возникает геометрическая наглядность, потерянная в вырожденном одномерном случае, и за счёт неё доказательство становится более простым для восприятия. Обобщение формулируется следующим образом.
Пусть L --- либо конечномерное аффинное пространство, либо целочисленная решётка в конечномерном аффинном пространстве, раскрашенное (-ая) в конечное число цветов, $M\subset L$ - конечное множество. Тогда существует одноцветное множество, подобное M.
Доказательство такого обобщения было приведено П.Андерсоном в 1976 году, который ссылаясь на Р.Радо приписывает исходное доказательство Г.Грунвальду. Затем доказательство Андерсона было пересказано на русском языке В.Прасоловым. Правда, доказательство Андерсона годилось только для решёток. В докладе доказательство Андерсона будет модернизировано, чтобы оно проходило и для фигур, не вкладываемых в решётку.
Приводимое доказательство элементарно и не требует для понимания ничего выходящего за рамки школьной программы.
Пятница, 21 апреля 2006, 17.00, ауд. 206
Я напомню, как Долгачев, Никулин и Пинкэм объяснили странную двойственность Арнольда, и разберу детально самый простой случай зеркальной двойственности для K3-поверхностей. Я завершу рассказ постановкой задачи, которая, будучи решенной, пролила бы свет на загадку эта-формулы. Это задача о счете рациональных кривых на поверхностях, так что надо посмотреть, нельзя ли ее решить методами Казаряна.
Пятница, 14 апреля 2006, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано о нескольких теориях, в которых возникают уравнения Пенлеве. Затем будет приведён обзор полученных в последнее время алгебраических решений уравнения Пенлеве-6. Будет объяснено, как с каждым из них связана пара Белого и намечена связь с теорией детских рисунков.
Пятница, 7 апреля 2006, 17.00, ауд. 206
Доклад посвящен наиболее важным результатам теории n-значных групп и основным направлениям её приложений.
В центре внимания будут конструкции n-значных групп и их действий (интегрируемые многозначные динамики), возникающих в задачах алгебры, топологии и теории представлений. Будут даны все необходимые определения.
Пятница, 31 марта 2006, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано про категории D-бран типа В в моделях Ландау-Гинзбурга и их связь с триангулированными категориями особенностей. А так же на конкретных примерах особенностей типа А_n будет объяснено как данные категории можно описать.
Пятница, 24 марта 2006, 17.00, ауд. 206
I shall recall my 1999 work on calculating cohomology groups of spaces on non-singular algebraic projective hypersurfaces of fixed degree, and describe some further progress, due to Gorinov, Peters-Steenbrink and Tommasi, including the calculation (by O.Tommasi) of the cohomology of the moduli space of genus 4 smooth curves. The problem on the cohomology of former spaces is a complexification of the rigid isotopy classification of real algebraic hypersurfaces, and the method of the work can be applied in quite a straightforward way to the latter problem.
Пятница, 17 марта 2006, 17.00, ауд. 206
Эйлер считал, что всякий числовой ряд имеет некоторую естественную (от Бога) сумму. Прав ли Эйлер? И как можно суммировать расходящиеся ряды. Об этом и пойдет речь на докладе.
Пятница, 10 марта 2006, 17.00, ауд. 206
Предлагается описание в терминах эффективной полевой теории для вычисления свободной энергии и корреляционных функций одно- и двухматричных моделей в разложении Хофта по родам. (На основе работ с B.Eynard and N.Orantin).
Пятница, 3 марта 2006, 17.00, ауд. 206
Определяется новая компактификация M^[r] конфигурационного пространства M^r\setminus\Delta наборов r различных точек гладкого m-многообразия M. В случаях r=2 и m=1 она совпадает со стандартной компактификацией M[r], предложенной Фалтоном-Макфирсоном и Акселродом-Зингером, которая получается последовательным раздутием различных диагоналей M^r и допускает доопределение в кусочно-линейной категории. В общем случае новая компактификация M^[r] получается из стандартной дополнительными раздутиями, существенно использующими гладкость многообразия M. Например, известно, что всякий (по крайней мере, рациональный) инвариант Васильева узла k:S^1->S^3 выражается через класс сохраняющей страты гомотопии индуцированного отображения k^r:(S^1)^[r]->(S^3)^[r] для некоторого r, в то время как стандартная компактификация не даёт ни одного нетривиального инварианта, поскольку всякий узел в S^3 кусочно-линейно изотопен тривиальному.
Основным свойством компактификации M^[r] является следующее усиление (пока полностью проверенное лишь в частных случаях) классической теоремы трансверсальности для мульти-0-струй: если L - гладкое подмногообразие (N\times M)^[r], то для всякого отображения C^\infty-общего положения f\:N\to M компактифицированная r-ая степень его графика f^[r]:N^[r]\to (N\times M)^[r] трансверсальна к L. Это свойство трансверсальности применяется для разрешения особенностей произвольного гладкого отображения общего положения N->M (не понижающего размерность). Точнее, объединение \Sigma_r(f) стратов Тома-Боардмана \Sigma^{i_1,\dots,i_k}(f) с i_1+\dots+i_k\ge r-1 допускает (по крайней мере в некоторых частных случаях) каноническое разрешение гладким многообразием.
Воскресенье, 26 февраля 2006, 17.00, ауд. 206
Специальные кэлеровы многообразия возникают в струнной теории как база для слоений, наделенных структурой алгебраических интегрируемых систем. Такие слоения возникают над пространством модулей трехмерных многообразий Калаби-Яу. В начале 1990-х эти структуры активно изучали Донаги, Маркман и Виттен. Специальные кэлеровы многообразия наделены интересными дифференциально- геометрическими структурами: плоской связностью без кручения и симметрической 3-формой, что делает их похожими на фробениусовы многообразия.
Пятница, 17 февраля 2006, 17.00, ауд. 206
Будут объяснены интегрируемые свойства матричных моделей, зависящих от некоторой (внешней) матрицы и произвольного (типично полиномиального) потенциала. Статистические суммы таких моделей оказываются tau-функциями различных (в зависимости от потенциала) редукций иерархий КП/Тоды, причем конкретное решение иерархии выделяется из всех ее решений дополнительным уравнением, называемым струнным уравнением.
Пятница, 10 февраля 2006, 17.00, ауд. 206
Рассматривается топология вещественного пространства модулей стабильных кривых рода 0 с n нумерованными отмеченными точками. Алгебра когомологий этого пространства с коэффициентами в поле рациональных чисел задана образующими и соотношениями, приводится базис этой алгебры и вычислен ее ряд Пуанкаре. Показано, что, в отличие от комплексного случая, числа Бетти рассматриваемого пространста растут полиномиально. Будет сформулирован ряд гипотез и открытых проблем. В частности, верно ли, что алгебра когомологий с коэффициентами в кольце целых чисел не имеет кручения нечетного порядка?
