Андрей Рябичев, Александра Кузнецова

Введение в современную математику (ВШМ МФТИ, осень 2025)

Этот курс призван устранить разницу в уровне школьной подготовки и закрыть пробелы в материале, который полезно освоить к началу обучения. Мы дадим обзор базовых математических конструкций, которые обычно подробно проходят в математических школах. Курс продлится примерно до конца октября, то есть первую половину осеннего семестра.

Задачи к семинарам

[15 октября] Семинар 6, повторение,   

[8 октября] Семинар 5, перестановки,   

[1 октября] Семинар 4, комплексные числа,   

[24 сентября] Семинар 3, индукция и комбинаторика,   

[17 сентября] Семинар 2, отображения,   

[10 сентября] Семинар 1, логика и множества,   

Лекции

[28 октября]   Разбор экзамена. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Инверсии плоскости. Группа движений в геометрии Лобачевского. Проективная плоскость и проективные преобразования.

[21 октября]   Прошёл экзамен по курсу.

[14 октября]   Разнобой: законы де Моргана, формула включений-исключений, теорема Кантора-Бернштейна, действие группы на множестве, правильные многогранники. Консультация в свободном формате.

[7 октября]   Перестановки, циклы. Сопряжённость. Порождающие наборы. Инверсные пары, чётность. ДЗ.

[30 сентября]   Комплексные числа: модуль, аргумент, тригонометрический вид. Тригонометрические формулы и суммирования при помощи комплексных чисел. Комплексные пределы, экспонента. Кватернионы. ДЗ.

[23 сентября]   Принцип математической индукции. Комбинаторика, треугольник Паскаля и бином Ньютона. Рекуррентные последовательности, производящие функции. ДЗ.

[16 сентября]   Множества и отображения: композиция, типы отображений (инъективность/сюръективность, мономорфность/эпиморфность, наличие левого/правого обратного), биекции, теорема Кантора. ДЗ.

[9 сентября]   Логика высказываний, таблица истинности, операции над множествами, кванторы, множества заданные формулой, парадокс Рассела, отношение порядка, отношение эквивалентности и фактормножество, примеры отношений эквивалентности. ДЗ.

[2 сентября]   Прошло вступительное тестирование

Правила получения оценки:

В начале курса проводится тестирование, решившим 90% задач зачёт за курс ставится автоматом.

Для остальных действует следующий критерий. Изначально на счету каждого студента −2 балла; оценка суммируется из двух слагаемых: письменная сдача ДЗ (до 7 баллов) и письменный экзамен в конце курса (до 7 баллов).

Примерная программа

1. Логика и теория множеств: высказывания, кванторы, таблица истинности; операции над множествами; отношения эквивалентности и порядка, фактормножество; парадокс Рассела.

2. Множества и отображения: типы отображений, композиция, биекции, мощность, обратные отображения, теорема Кантора-Бернштейна, теорема Кантора.

3. Натуральные числа: принцип математической индукции, системы счисления, комбинаторика, треугольник Паскаля и бином Ньютона.

4. Дискретная математика: рекуррентные последовательности, производящие функции; пути в графах.

5. Комплексные числа: модуль, аргумент, тригонометрический вид. Кватернионы.

6. Группы: перестановки; действие группы на множестве, группы преобразований; правильные многогранники.

7. Неевклидова геометрия: проективная, сферическая, геометрия Лобачевского и её модели.

Литература