На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Избранные сюжеты из топологии поверхностей

Лекции читаются очно по четвергам первой парой (17:30-19:10) в аудитории 303 и транслируются на YouTube. Вот тизер курса.

К каждой лекции выкладываются листки с задачами.

Сдавшим не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков. Вот кондуит.

Решения задач можно присылать на почту ryabichev@179.ru. Если есть какие-нибудь вопросы, тоже не стесняйтесь писать. А вот чат курса в телеграме, заходите!

Лекции и задачи

21 ноября, лекция 10. Теорема о классификации расслоений ранга 2 над двумерными комплексами. Общие отображения поверхностей: складки и сборки.

14 ноября, лекция 9 (видео). Векторные расслоения, универсальное расслоение, характеристические классы. Класс Эйлера, вычисление для многообразий. Классы Штифеля-Уитни, их аксиомы. Примеры вычислений. Построение через препятствия. Задачи к лекции 9.

7 ноября, лекция 8 (видео). Определения локальных систем. Сингулярный и клеточный комплексы с локальными коэффициентами. Обратный образ локальной системы. Двойственность Пуанкаре для многообразий. *Представимость функтора когомологий с локальными коэффициентами. Задачи к лекции 8.

24 октября, лекция 7 (видео). Пространства Эйленберга-Маклейна, классы гомолопии отображений поверхностей. Теорема Дена-Нильсена. Неравенство χ(M) ≤ Deg(f) · χ(N). Абсолютная степень (обзор).

17 октября, лекция 6 (видео). Трансверсальность. Доказательства теоремы Эдмондса о факторизации.

10 октября, лекция 5 (видео). Решение проблемы Гурвица для базы рода >0. Формулировка теоремы Эдмондса о факторизации. Геометрическая степень, её свойства, примеры. Задачи к лекции 5.

3 октября, лекция 4 (видео). Накрытия, разветвлённые накрытия поверхностей. Примеры. Формула Римана-Гурвица. Деформации разветвлённых накрытий. Задачи к лекции 4.

26 сентября, лекция 3 (видео). Окончание доказательства трюка Кирби для сглаживания гомеоморфизмов в окрестности симплексов.

19 сентября, лекция 2 (видео). Сглаживание гомеоморфизмов в окрестности симплексов. Трюк Кирби с тором. Единственность гладкой структуры на торе. Задачи к лекции 2.

5 сентября, лекция 1 (видео). Топологические и гладкие многообразия. Теорема о существовании и единственности гладкой структуры на поверхностях. Функции Морса, разложение на ручки. Разложение поверхности на штаны. План доказательства теоремы. Задачи к лекции 1.

Программа курса

Этот курс состоит из нескольких сюжетов, по сути обособленных, но объединённых общей тематикой — топология поверхностей. Мы освоим несколько полезных приёмов из алгебраической и дифференциальной топологии, применяя их в наглядных маломерных ситуациях, и в итоге докажем ряд классических но не слишком широко известных теорем.

Курс рассчитан на студентов 3–4 курса. Для понимания достаточно знать что такое гомотопия и уметь считать клеточные гомологии, а также понимать что такое дифференциал гладкого отображения многообразий.

Примерный план:

1. Доказательство Хатчера, что гладкая структура на поверхности единственна с точностью до изотопии, aka трюк Кирби для поверхностей, основной приём в доказательстве — разбиение на ручки при помощи функции Морса и последующий анализ комбинаторики склейки ручек (2 лекции).

2. Разветвлённые накрытия, проблема Гурвица — для каких данных ветвления в базе разветвлённое накрытие реализуется (1-2 лекции).

3. Теорема Эдмондса о факторизации — любое отображение поверхностей ненулевой степени гомотопно композиции разветвлённого накрытия и схлопывания ручек (1-2 лекции).

4. Геометрическая степень — минимальное число прообразов регулярного значения по всем отображениям из заданного гомотопического класса, для отображений, сохраняющих ориентацию, она равна обычной степени (1 лекция).

5. Неравенство χ(M) ≤ Deg(f) · χ(N) для отображения f : M → N замкнутых поверхностей ненулевой степени (1 лекция).

6. Теорема Дена-Нильсена — любой автоморфизм π₁(M) реализуется гомеоморфизмом M (1 лекция).

7. То же для гомологий: любой автоморфизм H₁(M;Z), сохраняющий спаривание, реализуется гомеоморфизмом M (1-2 лекции).

8. Когомологии с локальными коэффициентами (1 лекция).

9. Класс Эйлера с коэффициентами в ориентирующем пучке (1 лекция).

10. Отображения поверхностей с заданными складками и сборками (1 лекция).

11. Если будет мало, можно поговорить про гиперболические структуры и пространство Тейхмюллера, или про трёхмерные многообразия и разбиения Хегора, или например про видимые контуры — образы складок и сборок, какими они могут быть и что про них известно.

Литература (будет пополняться по ходу курса)