На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Избранные сюжеты из топологии поверхностей

Лекции читаются очно по четвергам первой парой (17:30-19:10) в аудитории 303 и транслируются на YouTube. Вот тизер курса.

К каждой лекции выкладываются листки с задачами.

Вот вариант экзамена 22 декабря 2024 и видео-разбор. Повторный экзамен состоится в воскресенье 9 февраля с 12:00 до 16:00 в ауд.303.

Сдавшим не менее 2/3 задач не менее чем из 2/3 всех листков зачёт по курсу будет ставиться без экзамена. Для сдающих экзамен количество задач на экзамене будет уменьшено пропорционально числу сданных задач из листков.

Лекции и задачи

12 декабря, лекция 13 (видео). Вычисление харклассов переклеенного расслоения (продолжение). Критерий существования отображения поверхностей с заданными складками и сборками. Картинки. Задачи к лекции 13.

5 декабря, лекция 12 (видео). Грассманиан и универсальное расслоение. Классификация расслоений ранга 2 над двумерной базой. Вычисление харклассов переклеенного расслоения (начало). Задачи к лекции 12.

28 ноября, лекция 11 (видео). Теорема Смейла-Хирша о погружениях. Теорема Поэнару об отображениях со складками. h-принцип Элиашберга. Задачи к лекции 11.

14 ноября, лекция 10 (видео). Типичные и устойчивые отображения. Складки, сборки. Переклейки касательного расслоения. Задачи к лекции 10.

14 ноября, лекция 9 (видео). Векторные расслоения, универсальное расслоение, характеристические классы. Класс Эйлера, вычисление для многообразий. Классы Штифеля-Уитни, их аксиомы. Примеры вычислений. Построение через препятствия. Задачи к лекции 9.

7 ноября, лекция 8 (видео). Определения локальных систем. Сингулярный и клеточный комплексы с локальными коэффициентами. Обратный образ локальной системы. Двойственность Пуанкаре для многообразий. *Представимость функтора когомологий с локальными коэффициентами. Задачи к лекции 8.

24 октября, лекция 7 (видео). Пространства Эйленберга-Маклейна, классы гомолопии отображений поверхностей. Теорема Дена-Нильсена. Неравенство χ(M) ≤ Deg(f) · χ(N). Абсолютная степень (обзор).

17 октября, лекция 6 (видео). Трансверсальность. Доказательства теоремы Эдмондса о факторизации.

10 октября, лекция 5 (видео). Решение проблемы Гурвица для базы рода >0. Формулировка теоремы Эдмондса о факторизации. Геометрическая степень, её свойства, примеры. Задачи к лекции 5.

3 октября, лекция 4 (видео). Накрытия, разветвлённые накрытия поверхностей. Примеры. Формула Римана-Гурвица. Деформации разветвлённых накрытий. Задачи к лекции 4.

26 сентября, лекция 3 (видео). Окончание доказательства трюка Кирби для сглаживания гомеоморфизмов в окрестности симплексов.

19 сентября, лекция 2 (видео). Сглаживание гомеоморфизмов в окрестности симплексов. Трюк Кирби с тором. Единственность гладкой структуры на торе. Задачи к лекции 2.

5 сентября, лекция 1 (видео). Топологические и гладкие многообразия. Теорема о существовании и единственности гладкой структуры на поверхностях. Функции Морса, разложение на ручки. Разложение поверхности на штаны. План доказательства теоремы. Задачи к лекции 1.

Программа курса

Этот курс состоит из нескольких сюжетов, по сути обособленных, но объединённых общей тематикой — топология поверхностей. Мы освоим несколько полезных приёмов из алгебраической и дифференциальной топологии, применяя их в наглядных маломерных ситуациях, и в итоге докажем ряд классических но не слишком широко известных теорем.

Курс рассчитан на студентов 3–4 курса. Для понимания достаточно знать что такое гомотопия и уметь считать клеточные гомологии, а также понимать что такое дифференциал гладкого отображения многообразий.

Примерный план:

1. Доказательство Хатчера, что гладкая структура на поверхности единственна с точностью до изотопии, aka трюк Кирби для поверхностей, основной приём в доказательстве — разбиение на ручки при помощи функции Морса и последующий анализ комбинаторики склейки ручек (2 лекции).

2. Разветвлённые накрытия, проблема Гурвица — для каких данных ветвления в базе разветвлённое накрытие реализуется (1-2 лекции).

3. Теорема Эдмондса о факторизации — любое отображение поверхностей ненулевой степени гомотопно композиции разветвлённого накрытия и схлопывания ручек (1-2 лекции).

4. Геометрическая степень — минимальное число прообразов регулярного значения по всем отображениям из заданного гомотопического класса, для отображений, сохраняющих ориентацию, она равна обычной степени (1 лекция).

5. Неравенство χ(M) ≤ Deg(f) · χ(N) для отображения f : M → N замкнутых поверхностей ненулевой степени (1 лекция).

6. Теорема Дена-Нильсена — любой автоморфизм π₁(M) реализуется гомеоморфизмом M (1 лекция).

7. То же для гомологий: любой автоморфизм H₁(M;Z), сохраняющий спаривание, реализуется гомеоморфизмом M (1-2 лекции).

8. Когомологии с локальными коэффициентами (1 лекция).

9. Класс Эйлера с коэффициентами в ориентирующем пучке (1 лекция).

10. Отображения поверхностей с заданными складками и сборками (1 лекция).

11. Если будет мало, можно поговорить про гиперболические структуры и пространство Тейхмюллера, или про трёхмерные многообразия и разбиения Хегора, или например про видимые контуры — образы складок и сборок, какими они могут быть и что про них известно.

Литература (будет пополняться по ходу курса)