На главную страницу НМУ

А.М.Левин (A.Levin)

Алгебра, 1 курс, лекции (Algebra, 1st year, lectures)

See also exercise sheets.

Abridged lecture notes

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of ghostview)

[Lecture 1 (21K)|Lecture 2 (21K)|Lecture 3 (21K)|Lecture 4 (19K)
Lecture 5 (29K)|Lecture 6 (16K)|Lecture 7 (22K)|Lecture 8 (23K)
Lecture 9 (24K)|Lecture 10 (18K)|Lecture 11 (26K)|Lecture 12 (19K)]

Zipped postscript

[Lecture 1 (21K)|Lecture 2 (21K)|Lecture 3 (21K)|Lecture 4 (19K)
Lecture 5 (30K)|Lecture 6 (16K)|Lecture 7 (22K)|Lecture 8 (23K)
Lecture 9 (25K)|Lecture 10 (18K)|Lecture 11 (27K)|Lecture 12 (19K)]

Программа курса

1. Группы. Подгруппы. Левые и правые смежные классы по подгруппе. Нормальные подгруппы. Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Порядок подгруппы и порядок любого элемента группы являются делителями порядка группы. Прямое произведение групп. Группа перестановок.
2. Кольца. Идеалы. Поля. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов. Факториальные кольца. Факториальность целостных евклидовых колец.
3. Факториальность целостных колец главных идеалов. Факторкольцо. Лемма Гаусса. Факториальность кольца Z[x].
4. Линейные (векторные) пространства. Линейная независимость. Базис и размерность векторного пространства. Сопряжённое пространство.
5. Матрицы. Матрица преобразования координат при переходе к другому базису. Умножение матриц. Обратная матрица. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Альтернатива Фредгольма.
6. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Композиция операторов и матричное умножение. Преобразование матрицы оператора при замене базиса. Аффинное пространство. Множество решений системы линейных уравнений как аффинное пространство.
7. Формы объёма. Существование и единственность (с точностью до постоянного множителя).
8. Определители. Определитель произведения матриц. Определитель транспонированной матрицы. Свойства определителя. Разложение определителя по строке. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей. Единственность решения системы из n уравнений с n неизвестными в терминах определителя.
9. Билинейные и квадратичные формы, связь между ними. Матричная запись билинейной формы. Ядро формы. Теорема о сигнатуре. Полуторалинейные и эрмитовы формы. Теорема о сигнатуре для эрмитовых пространств.
10. Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду. Симметричные линейные операторы. Характеристический многочлен. Собственные векторы и собственные значения. Вещественность собственных значений симметричного оператора.
11. Теорема Гамильтона-Кэли. Задачи о конечных абелевых группах и о жордановой нормальной форме как примеры задач о модулях над кольцами главных идеалов.
12. Модули над ассоциативными коммутативными кольцами с единицей. Теорема о гомоморфизме. Прямая сумма модулей. Образующие модуля. Циклические и свободные модули.
13. Конечнопорождённые модули над евклидовыми кольцами. Свободность всякого подмодуля свободного модуля; поиск разумной системы образующих с помощью элементарных преобразований. Разложение конечнопорождённого модуля в прямую сумму циклических. Два варианта теоремы единственности.
14. (*) Конечнопорождённые модули над кольцами главных идеалов. Аннулятор. Теорема существования разложения конечного (конечнопорождённого периодического) модуля в прямую сумму циклических. Два варианта теоремы единственности.
15. Применения жордановой формы: возведение матрицы в степень, вычисление функций от матрицы, решение рекуррентных соотношений и дифференциальных уравнений.

Зачёт будет происходить 1 и 8 декабря с 17.30 до 21.00. На зачёте надо демонстрировать умение решать задачи (в основном похожие на задачи семинаров). Также надо иметь представление о доказательствах основных теорем курса и при необходимости уметь эти доказательства воспроизвести.

Экзамен, в отличие от зачёта, письменный и состоит лишь из задач. Он состоится в воскресенье, 14 декабря, в 10.00. Удачи!