На главную страницу НМУ

И.М.Парамонова (I.Paramonova)

Группы и алгебры Ли (Lie algebars and Lie groups)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

[Листок 1 (28K)|Листок 2 (35K)|Листок 3 (37K)|Листок 4 (28K)
Листок 5 (28K)|Листок 6 (30K)|Листок 7 (25K)|Листок 8 (29K)
Листок 9 (30K)|Шпаргалка (53K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (11K)|Листок 2 (14K)|Листок 3 (15K)|Листок 4 (12K)
Листок 5 (12K)|Листок 6 (12K)|Листок 7 (11K)|Листок 8 (12K)
Листок 9 (13K)|Шпаргалка (54K)]

Зачет (Final test)

[Postscript (27K)|Zipped postscript (11K)]

Экзамен (Take-home exam)

[Postscript (30K)|Zipped postscript (12K)]

Курс является вводным в теорию групп и алгебр Ли и рассчитан на студентов, начиная со второго курса.

Программа

  1. Основные определения и примеры: группа Ли, подгруппа Ли, гомоморфизм, представление и действие группы Ли.
  2. Орбиты и стабилизаторы. Введение гладкой структуры на множестве смежных классов. Факторгруппа.
  3. Лево- и правоинвариантные тензоры на группе Ли. Существование инвариантной формы объема на компактной группе Ли.
  4. Четыре определения алгебры Ли данной группы Ли. Присоединенное представление.
  5. Касательный гомоморфизм и касательное представление. Теоремы существования и единственности для гомоморфизмов групп Ли. Экспоненциальное отображение. Описание связных групп Ли с данной алгеброй Ли.
  6. Основные классы групп и алгебр Ли: разрешимые, нильпотентные, простые, полупростые.
  7. Структурная теория полупростых алгебр Ли: картановская подалгебра, форма Картана-Киллинга, система корней, группа Вейля, матрица Картана, схема Дынкина.
  8. Классификация простых алгебр Ли. Образующие Шевалле, соотношения Серра. Изоморфизмы малых размерностей.
  9. Теоремы Леви и Мальцева.
  10. Элементы теории представлений алгебр Ли: фундаментальные представления. Универсальная обертывающая алгебра. Представления со старшим весом и индуцированные представления. Формула Вейля для характера. Гармонический анализ на сфере.

Литература

  1. И.М.Парамонова, О.К.Шейнман. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".
  2. Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
  3. Ж.-П.Серр. Алгебры Ли и группы Ли.
Rambler's Top100