На главную страницу НМУ

И.В.Лосев (I.Losev)

Группы и алгебры Ли (Lie algebras and Lie groups)

(Спецкурс, рекомендован для 3 курса)

Листки (Exercise sheets)

Postscript

[Листок 1 (56K)|Листок 2 (49K)|Листок 3 (61K)|Листок 4 (40K)
Листок 5 (66K)|Листок 5½ (28K)|Листок 6 (69K)|Листок 6½ (39K)
Листок 7 (57K)
Листок 8 (67K)|Листок 9 (59K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (21K)|Листок 2 (49K)|Листок 3 (23K)|Листок 4 (15K)
Листок 5 (24K)|Листок 5½ (12K)|Листок 6 (25K)|Листок 6½ (15K)
Листок 7 (22K)
Листок 8 (24K)|Листок 9 (23K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (42K)|Zipped postscript (17K)]

Программа

Часть 1. Конечномерные алгебры Ли, общая теория

  1. Алгебры Ли и их представления. Основные примеры.
  2. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли. Теоремы Энгеля, Ли и Картана.
  3. Радикал и нильпотентный раздикал. Полупростые алгебры Ли. Форма Киллинга и критерий полупростоты в её терминах. Разложение на простые идеалы.
  4. Теорема Вейля о полной приводимости конечномерных представлений полупростой алгебры Ли. Приложение: разложение Жордана в полупростой алгебре Ли, теорема Леви.

Часть 2. Группы Ли

  1. Определения и основные примеры. Подгруппы Ли и однородные пространства. Связные и односвязные группы Ли, односвязная накрывающая.
  2. Касательная алгебра группы Ли. Экспоненциальное отображение. Теоремы о существовании и единственности гомоморфизма групп Ли с заданным дифференциалом.
  3. Соответствие между подгруппами Ли и подалгебрами Ли: нормализаторы, централизаторы, радикал и коммутант. Замыкание Мальцева.

Часть 3. Полупростые алгебры Ли, структурная теория и классификация

  1. Картановские подалгебры и корневые разложения. Теорема сопряженности.
  2. Структура корневого разложения и системы корней полупростой алгебры Ли.
  3. Абстрактные системы корней. Камеры Вейля, положительные и простые корни. Группа Вейля и её действие на камерах Вейля. Матрицы Картана и схемы Дынкина.
  4. Обобщенные матрицы Картана и алгебры Каца-Муди. Существование и единственность конечномерной простой алгебры Ли с заданной матрицей Картана.

Часть 4. Представления полупростых алгебр Ли

  1. Универсальная обертывающая алгебра. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.
  2. Старшие векторы и старшие веса. Модули Верма. Классификация конечномерных неприводимых модулей над полупростой алгеброй Ли.
  3. Формулы Вейля для характера и размерности. Гомоморфизм Хариш-Чандры.
Rambler's Top100