В осеннем семестре 2006 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
| Осень, 2000 | Весна, 2001 | Осень, 2001 | Весна, 2002 |
| Осень, 2002 | Весна, 2003 | Осень, 2003 | Весна, 2004 |
| Осень, 2004 | Весна, 2005 | Осень, 2005 | Весна, 2006 |
Пятница, 22 декабря 2006, 17.00, ауд. 206
Известно, что структура гомотопической алгебры Ли эквивалентна условию, что нечетное векторное поле в квадрате равно нулю. Это условие можно рассматривать как классический предел уравнения мастер-уравнения Баталина-Вилковысского для действия, описываемого векторным полем.
Предложено рассматривать полное мастер уравнение как определение квантовой гомологической алгебры. В частности, векторное поле дополняется первой квантовой поправкой - инвариантной мерой.
Будет показано, что процедура стягивания подкомплекса и индуцирования гомотопических структур может быть описана как интеграл Баталина-Вилковысского, при этом классические гомотопические структуры получаются в виде суммы по деревьям, а квантовые - в виде суммы по графам "с одной петлей", т.е. имеющим топологию окружности.
Пятница, 15 декабря 2006, 17.00, ауд. 206
В докладе речь пойдёт о естественных удвоениях ряда операд и алгебр. С одной стороны, это операды Герстенхабера, Пуассона и Ливернэ--Лодэ, с другой --- алгебра Орлика--Соломона (алгебра когомологий дополнения к конфигурации комплексных гиперплоскостей A_{n-1}), алгебра Гельфанда--Варченко (алгебра локально постоянных функций на дополнении к конфигурации вещественных гиперплоскостей A_{n-1}) и однородная версия последней. Будут сформулированы (и до какой-то степени объяснены) результаты докладчика (некоторые из которых получены совместно с А.Хорошкиным и М.Берштейном), дающие для удвоенных алгебр и операд аналоги известных результатов Арнольда, Матьё и Гельфанда--Варченко, а также --- если останется время --- некоторые нерешённые задачи.
Пятница, 8 декабря 2006, 17.00, ауд. 206
На любом многообразии с римановой метрикой канонически определен оператор Лапласа. Если многообразие компактно, то оператор Лапласа имеет дискретный спектр. Основной характеристикой распределения собственных значений является спектральная функция - число собственных значений, меньших заданного числа х. Задача состоит в определении асимптотики этой функции при больших х. Главный член этой асимптотики универсален и задается формулой Вейля и надо оценить второй член. В докладе для компактных двумерных поверхностей без края будет дан обзор имеющихся результатов по этой задаче и рассказано о ее связях с задачей о спектре длин замкнутых геодезических. Будут отдельно рассмотрены эллиптические, параболические и гиперболичекие случаи.
Пятница, 1 декабря 2006, 17.00, ауд. 206
Квази-инварианты группы Кокстера W - это многочлены, которые 'почти' инвариантны относительно отражений, порождающих W. Они тесно связаны с квантовой задачей Калоджеро-Мозера, однако представляют независимый интерес, занимая промежуточное положение между всеми полиномами и подалгеброй инвариантов. В частности, для них верен аналог теоремы Шевалле; также, они дают примеры особых алгебраических многообразий с интересными свойствами. Несмотря на элементарное определение, некоторые важные свойства квази-инвариантов весьма непросто установить. Ситуация становится еще сложнее, если заменить группу Кокстера произвольной комплексной группой, порожденной отражениями. Тем не менее, оказывается, структура квази-инвариантов становится гораздо прозрачнее, если воспользоваться теорией представлений соответствующей алгебры Чередника. Именно такой подход был применен в кокстеровском случае в работе Береста-Этингофа-Гинзбурга. Однако, чтобы обобщить его на комплексный случай, потребовались дополнительные идеи. Об этом и будет рассказано в докладе, который основан на совместной работе Ю.Береста и докладчика.
Пятница, 24 ноября 2006, 17.00, ауд. 206
Пятница, 17 ноября 2006, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано, почему производящие функции раскрашенных графов можно рассматривать как асимптотические разложения гауссовых интегралов. Эти производящие функции удовлетворяют некоторой системе уравненний в частных производных, сводящихся в простейшем случае к уравнению Бюргерса. Решение ищется в виде разложения в ряд по родам, причем уравнения для первого члена ряда оказываются равносильными задаче обращения некоторого отображения, что позволяет обсуждать в этих терминах гипотезу якобиана. В результате получаются простые и естественные доказательства недавних результатов W.Zhao и Wright-а, а также известной формулы обращения по деревьям Басса. Что же касается полной системы уравнений, то ее решение выражается явно через упомянутое решение задачи обращения и специальные функции - полиномы стабильных графов, про которые также будет рассказано.
Пятница, 10 ноября 2006, 17.00, ауд. 206
На примере простейшей системы - гармонического осциллятора - будут проиллюстрированы основные факты современной теории интегрируемых систем. Основной метод теории классических интегрируемых систем основан на использовании так называемых спектральных кривых. В работе Д.Талалаева (hep-th/0404153) была предложена формула $det(d/dz-L(z))$, которая является правильным аналогом спектральной кривой на квантовом уровне. Квантовая спектральная кривая - дифференциальный оператор от одной переменной. Оказывается, что основные свойства квантовой системы (системы со многими степенями свободы) могут быть сведены к изучению этого дифференцильного от одной переменной, что практически равносильно решению задачи. Кроме того "квантовая спектральная кривая" позволила решить несколько проблем стояших десятилетиями в терии групп Ли (центр Кац-Муди на критическом уровне, тождества Ньютона, Гамильтона-Кэли), алгебраической геометрии (соответствие Ленглендса) и других вопросах (уравнение Книжника-Замолодчикова и др.). В докладе будут напомнены основные понятия теории интегрируемых систем и теории квантования.
Доклад будет основан на работах Д.Талалаева и докладчика.
Universal G-oper and Gaudin eigenproblem, hep-th/0409007
Quantum spectral curves, quantum integrable systems and the geometric Langlands correspondence, hep-th/0604128
KZ equation, G-opers, quantum Drinfeld-Sokolov reduction and Cayley-Hamilton identity, hep-th/0604128
Friday, November 3, 5 p.m., room 206
Basic quantum phenomena suggest some new conjectures on inherent properties of nonlinear hyperbolic PDEs: global attraction to stationary states, soliton asymptotics and others.
The suggestions were confirmed last decade for a list of nonlinear hyperbolic PDEs. The proofs required new mathematical tools for analysis of energy transfer from low to higher harmonics and energy radiation in infinite dimensional Hamiltonian systems.
Crucial role in this new development of nonlinear scattering theory play methods of classical Harmonic Analysis: the Wiener Tauberian Theorem, the Titchmarsh Convolution Theorem, and others.
We will expose recent results in these directions.
20 и 27 октября семинара не будет. Следующее заседание 3 ноября.
Friday, October 13, 5 p.m., room 206
In the article "Mathematical Problems in Classical Physics"
V.I.Arnold posed problems about finding local canonical forms of
1) the Riemannian (Einstein) metrics,
2) (hyper-)Kahler metrics,
3) vector fields,
4) . . .
In fact, some canonical forms in the cases 1) and 2) are known in the classical diff. geometry (as folklore, I think). I'll tell about that forms and their aplications. For example, for a Riemannian (resp. Kahler) metrics we obtain that the only differential characteristic classes are the Pontriagin (resp. Chern) classes.
Friday, October 6, 5 p.m., room 206
I will discuss the following question: given a Coxeter group G with N generating reflections, how many reflections may we need to generate its finite index Coxeter subgroup?
If G acts on hyperbolic space with fundamental domain of finite volume, it is rather easy to see that we need at least N reflections. However, the proof, which is based on the famous result of Andreev concerning intersections of faces of acute-angled polytopes, uses not the hyperbolic geometry itself but the fact the space of group action is CAT(0). At the same time for any Coxeter group G there exists a picewise Euclidean CAT(0) cell complex, on which G acts by isometries with compact quotient and finite stabilizers (Davis complex). I will try to show how we can use the geometry of Davis complex to generalize the result above to different classes of Coxeter groups.
Friday, September 29, 5 p.m., room 206
New solutions to WDVV equation with rational 3-index correlators are found by means the finite gap integration technique. These solutions enabled I.Taimanov and the speaker to construct examples of non-semisimple Frobenius varieties.
Пятница 22 сентября, 17.00, ауд. 206
We introduce the moduli space $\rmod{2k,l}$ of pointed real curves of genus zero and give its natural stratification. The strata of $\rmod{2k,l}$ correspond to real curves of genus zero with different degeneration types and are encoded by trees with certain decorations. By using this stratification, we calculate the first Steifel-Whitney class of $\rmod{2k,l}$ and construct the orientation double cover $\cover{2k,l}$ of $\rmod{2k,l}$.
Пятница, 15 сентября 2006, 18.00, ауд. 206
Пятница, 8 сентября 2006, 17.00, ауд. 206
Сингулярное интегральное уравнение Пуанкаре-Стеклова со спектральным параметром $\lambda$ возникает при обосновании и оптимизации метода разделения области решения краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости, а также в примитивной модели нефтедобычи.
Используя методы (комплексной) геометрии мы можем дать представления для собственных чисел и функций уравнения ПС-3 в терминах т.н. мембран Кляйна. По существу, решение интегрального уравнения сводится к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными числами -- модулями штанов.
Интегральное уравнение сводится к задаче восстановления на определяемой из уравнения римановой поверхности рода 2 проективной структуры по ее монодромии, зависящей от спектрального параметра $\lambda$. Эта задача имеет комбинаторную природу и решается при помощи техники напоминающей детские рисунки Гротендика. Дискретный спектр уравнения ПС-3 при таком подходе возникает в результате последовательного применения некоторой хирургии (т.н. grafting), изобретенной Маскитом, Хейхалом и Салливаном-Терстоном в 1969-1983 годах.
Литература:
[1] Богатырев А.Б. Геометрический метод решения интегрального уравнения Пуанкаре-Стеклова.// Математические заметки 63:3 (1998)
[2] Богатырев А.Б. Интегральные уравнения ПС и задача монодромии Римана. // Функ. анализ и приложения 34:2 (2000)
[3] Богатырев А.Б. Интегральные уравнения ПС-3 и проективные структуры на римановых поверхностях // Математический Сборник, 192:4 (2001)
