На главную страницу НМУ

Ю.М.Бурман

Математический анализ, 1 семестр (лекции)

Записки лекций (Lecture notes)

Postscript

[Лекция 1 (72K)|Лекция 2 (62K)|Лекция 3 (61K)|Лекция 4 (72K)
Лекция 5 (67K)|Лекция 6 (75K)|Лекция 7 (55K)|Лекция 8 (64K)
Лекция 9 (58K)|Лекции 10-11 (95K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (24K)|Лекция 2 (21K)|Лекция 3 (20K)|Лекция 4 (24K)
Лекция 5 (22K)|Лекция 6 (26K)|Лекция 7 (20K)|Лекция 8 (23K)
Лекция 9 (21K)|Лекции 10-11 (30K)]

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript (24K)|Postscript (10K)]

Второй экзамен (Exam problems: second exam)

[Postscript (26K)|Postscript (11K)]

Программа курса

Программа содержит основные утверждения, которые нужно уметь доказывать. Предполагается знание всех соответствующих определений, служебных фактов (лемм) и т.п. Предполагается также знакомство с основными примерами и конструкциями курса --- такими как определение топологии в наиболее употребительных пространствах, контрпример к лемме Гейне--Бореля в $C[0,1]$, и т.п.
  1. Композиция и декартово произведение непрерывных отображений непрерывны.
  2. Эквивалентность двух определений предела функции (через непрерывность и через пределы последовательностей).
  3. Всякое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань.
  4. Отрезок действительной прямой связен. Линейно связное пространство связно.
  5. Принцип вложенных отрезков.
  6. Теорема о промежуточном значении.
  7. Замкнутое подмножество компакта --- компакт.
  8. Компакт в метрическом пространстве содержит конечную $\eps$-сеть для всех $\eps > 0$.
  9. Лемма Гейне--Бореля.
  10. Полнота пространств $\Real$ и $C[0,1]$.
  11. Перестановка пределов при равномерной сходимости.
  12. Отображение, непрерывное на компакте, равномерно непрерывно.
  13. Непрерывная функция интегрируема по Риману.
  14. Теоремы Лагранжа и Коши о промежуточной точке.
  15. Формула Ньютона--Лейбница.
  16. Принцип сжимающих отображений.
  17. Локальная разрешимость дифференциального уравнения.
  18. Явная формула для решения многомерного линейного дифференциального уравнения $1$ порядка с постоянными коэффициентами.
  19. Формула Тейлора
  20. Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций, в т.ч. функции $(1+x)^\alpha$ с произвольным $\alpha \in \Real$.
  21. Смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования.
  22. Формула для радиуса сходимости степенного ряда.
  23. Критерий почленной дифференцируемости ряда. Дифференцирование степенного ряда.
  24. Теорема о разбиении единицы.
  25. Описание максимальных замкнутых идеалов в алгебре бесконечно гладких функций.
Rambler's Top100