[Лекция 1 (82K)|Лекция 2 (56K)|Лекция 3 (69K)|Лекция 4 (71K)
Лекция 5 (74K)|Лекция 6 (71K)|Лекция 7 (78K)|Лекция 8 (93K)
Лекция 9 (92K)|Лекция 10 (93K)|Лекция 11 (85K)|]
[Лекция 1 (28K)|Лекция 2 (20K)|Лекция 3 (25K)|Лекция 4 (25K)
Лекция 5 (26K)|Лекция 6 (25K)|Лекция 7 (27K)|Лекция 8 (32K)
Лекция 9 (30K)|Лекция 10 (31K)|Лекция 11 (27K)|]
ПДО (псевдодифференциальные операторы) в $R^n$ класса $S^{1,0}$ и ``классические'' ПДО -- обобщения дифференциальных операторов. Символ и главный символ. Исчисление ПДО. Эллиптичность, параметрикс эллиптического ПДО. Ограниченность в соболевских пространствах $H^s$. Переход от представления ПДО интегралами типа Фурье к их представлению интегралами типа свертки и описание ядер интегральных операторов, которые являются псевдодифференциальными операторами. ПДО нулевого порядка и сингулярные интегральные операторы.
ПДО на замкнутом многообразии. Эквивалентность эллиптичности и фредгольмовости в соболевских пространствах. Индекс эллиптического оператора, его гомотопическая инвариантность, аналитическая формула для индекса. Условия, достаточные для равенства индекса нулю. Эллиптичность с параметром и обратимость при больших значениях параметра. ПДО на окружности и торе: представление рядами типа Фурье.
Компактные ПДО и эллиптические ПДО с дискретным спектром. Спектральные свойства самосопряженных эллиптических ПДО ненулевого порядка на замкнутом многообразии; на окружности. Слабые возмущения самосопряженных эллиптических ПДО. ПДО, далекие от самосопряженных. Приложения к спектральным граничным задачам для классических уравнений математической физики. Функции от эллиптического ПДО $A$: степень $A^s$, экспоненты $e^{-tA}$ и $e^{itA}$, $\zeta$-функция, связи между ними.
Курс будет доступен аспирантам и студентам Мех-мата МГУ, начиная с 3 курса. Курс будет читаться ``от нуля''. Однако желательно, чтобы слушатели имели некоторое знакомство с основными понятиями теории обобщенных функций и соболевских $L_2$-пространств. Например, можно просмотреть лекции, прочитанные в прошедшем семестре.
Возможна сдача экзамена; при этом курс может быть зачтен как спецкурс по кафедре дифференциальных уравнений Мех-мата.
