М.С.Агранович об опыте чтения лекций в НМУ, апрель 2009.
В 2002-2007 гг. я прочитал в НМУ несколько спецкурсов по анализу: "Обобщенные функции", "Соболевские пространства", "Эллиптические псевдодифференциальные операторы" (общая теория и элементы спектральной теории), "Несамосопряженные операторы". Аудитория была немногочисленной, но я получил большое удовольствие от общения с ней. Моим слушателям было разрешено прерывать изложение вопросами при малейшей неясности, так что я постоянно имел обратную связь с ними. Их уровень был довольно высоким, и они были благодарны как за замкнутое изложение теории в простейшем варианте в каждом курсе, так и за обзор свежих вещей. Каждую лекцию я записывал на компьютере и выдавал слушателям на следующей лекции. Все это попало на сайт НМУ, но сейчас я выкроил время для подготовки моих курсов к печати книжками небольшого объема:
Последние три книги - в стадии подготовки.
Я думаю, что в НМУ наряду с изучением очень глубоких вещей по геометрии и алгебре полезно регулярно читать факультативные курсы по основам современного анализа. В частности, то, что я читал, на Западе прекрасно понимают выдающиеся геометры, и нашим молодым геометрам не следует от них отставать.
[Лекция 1 (48K)|Лекция 2 (43K)|Лекция 3 (41K)|Лекция 4 (50K)|Лекция 5 (48K)
Лекция 6 (47K)|Лекция 7 (50K)|Лекция 8 (48K)|Лекция 9 (51K)|Лекция 10 (53K)
Лекция 11 (49K)|Лекция 12 (49K)|Лекция 13 (24K)]
[Лекция 1 (48K)|Лекция 2 (43K)|Лекция 3 (41K)|Лекция 4 (50K)|Лекция 5 (48K)
Лекция 6 (47K)|Лекция 7 (50K)|Лекция 8 (48K)|Лекция 9 (51K)|Лекция 10 (53K)
Лекция 11 (49K)|Лекция 12 (49K)|Лекция 13 (24K)]
Обобщенные функции (распределения). Структура обобщенных функций из пространств $\Cal S'$ и $\Cal E'$. Преобразования Фурье основных функций из $\Cal D$ и $\Cal S$ и обобщенных функций из $\Cal D'$ и $\Cal S'$. Соболевские обобщенные функции. Примеры приложений в математической физике. Исчисление псевдодифференциальных операторов в $R^n$ и на гладком многообразии. Эллиптические псевдодифференциальные операторы в соболевских $L_2$-пространствах, их фредгольмовость в случае замкнутого многообразия.
Обобщенные функции, их преобразования Фурье, соболевские пространства и псевдодифференциальные операторы составляют основу, или язык, современной теории операторов в частных производных и интегральных операторов и применяются повсюду в анализе и математической физике. Вобрав в себя достижения классиков анализа, этот язык открыл новые возможности и привел к перестройке ряда классических понятий и новой проблематике во второй половине 20 века.
В обязательных университетских курсах уравнений математической физики и функционального анализа на освоение обобщенных функций и соболевских пространств как правило удается выкроить слишком мало времени, а на псевдодифференциальные операторы его совсем не остается. Поэтому классические задачи и уравнения нередко рассматриваются в рамках несколько старомодных и не вполне адекватных понятий.
В курсе будут использованы некоторые параграфы из недавно вышедшего учебника М.А. Шубина "Лекции об уравнениях математической физики" и фрагменты из книг И.М. Гельфанда и Г.Е. Шилова по обобщенным функциям. Будут использованы также некоторые параграфы из монографии М.А. Шубина "Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория" в упрощенном варианте и другие источники. Курс вводный. Стиль изложения -- "просто о сложном", без излишней общности.
Если курс соберет устойчивую аудиторию, то через семестр будет предложено его продолжение, в котором будут обсуждаться связь между символом и ядром Шварца псевдодифференциального оператора, роль псевдодифференциальных операторов в эллиптических граничных задачах, аналитические подходы к проблеме вычисления индекса общего эллиптического оператора и элементы спектральной теории эллиптических операторов, в частности, на гладкой замкнутой кривой.
Сведения о лекторе можно найти в УМН, 2001, N 4, и 2002, N 5.
