На главную страницу НМУ

Ю.М.Бурман (Yu.Burman)

Анализ, 3 семестр (Calculus, 3rd semester)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by modern versions of Ghostview)

[Лекция 1 (25K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (30K)|Лекция 4 (28K)
Лекция 5 (29K)|Лекция 6 (32K)|Лекция 7 (30K)|Лекция 8 (27K)
Лекция 9 (24K)|Лекция 10 (22K)|Лекция 11 (30K)|Вопросы к зачету (Syllabus) (12K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (25K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (30K)|Лекция 4 (29K)
Лекция 5 (29K)|Лекция 6 (32K)|Лекция 7 (30K)|Лекция 8 (27K)
Лекция 9 (24K)|Лекция 10 (22K)|Лекция 11 (30K)|Вопросы к зачету (Syllabus) (12K)]

Экзамен (Exam)

[Postscript (42K)|Zipped postscript (42K)]

Второй экзамен (Second Exam)

[Postscript (34K)|Zipped postscript (14K)]

Программа курса

Что нужно вспомнить/повторить/выучить

Из анализа

Вложенные многообразия, отображения перехода. Касательное пространство и структура многообразия в касательном расслоении. Описание точек многообразия и касательных векторов через алгебру гладких функций. Гладкие отображения, производные, теорема о неявной функции. Лемма Сарда и ее следствия. Формула замены переменной в кратном интеграле.

Из линейной алгебры

Двойственное пространство и двойственный оператор. Тензорное произведение пространств и операторов. Симметрическая и внешняя степень пространств и операторов; определитель есть максимальная внешняя степень. Преобразование матриц операторов и билинейных форм при замене базиса.

Что будет изучаться

1. Абстрактные многообразия.
   1. Многообразие, подмногообразие, гладкое отображение. Варианты: ориентируемое многообразие, многообразие с краем.
   2. Гладкое векторное расслоение. Касательное расслоение.
   3. Теорема о разбиении единицы. Описание касательного расслоения через алгебру гладких функций.
   4. Слабая теорема Уитни (всякое n-мерное компактное многообразие вложимо в R²ⁿ⁺¹).
2. Векторные поля.
   1. Векторные поля — дифференцирования алгебры функций.
   2. Коммутатор векторных полей.
   3. Теорема Фробениуса об интегрируемости распределений.
   4. Тензорные операции над векторными расслоениями. Поведение расслоений и их сечений при отображениях.
   5. Риманова метрика и кривизна.
3. Дифференциальные формы.
   1. Дифференциальные формы и комплекс де Рама.
   2. Интеграл от дифференциальной формы по ориентированному многообразию.
   3. Теорема Стокса.
   4. Риманова метрика, форма объема и ориентируемость.
   5. Производная Ли тензорного поля.
   6. Теорема Фробениуса об интегрируемости распределений.
   7. Лемма Пуанкаре и другие примеры вычисления когомологий де Рама.