На главную страницу НМУ

А.В. Пенской

Анализ на многообразиях

Экзамен

[Экзамен 1 .pdf]

Экзамен 2 также будет письменный домашний. Условия экзамена:

[Экзамен 2 .pdf]

Листки (Exercise sheets. pdf)

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf]
[Листок 5 .pdf|Листок 6 .pdf|Листок 7 .pdf|Листок 8 .pdf]
[Листок 9 .pdf|Листок 10 .pdf|Листок 11 .pdf|Листок 12 .pdf]

Листки (Exercise sheets. pdf)

[Листок 1 .ps|Листок 2 .ps|Листок 3 .ps|Листок 4 .ps]
[Листок 5 .ps|Листок 6 .ps|Листок 7 .ps|Листок 8 .ps]
[Листок 9 .ps|Листок 10 .ps|Листок 11 .ps]

Данный курс представляет из себя введение в основы теории гладких многообразий - одного из базовых объектов современной математики. В весеннем семестре курс анализа на многообразиях продолжится естественным образом курсом дифференциальной геометрии.

Программа курса:

1. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции, теорема о ранге. Поверхности в аффинных пространствах, способы их задания.

2. Гладкие многообразия. Разбиение единицы. Отображения многообразий.

3. Касательные векторы и дифференциалы отображений. Касательное и кокасательное пространство.

4. Погружения, вложения, подмногообразия.

5. Лемма Сарда. Трансверсальность. Слабая теорема Уитни.

6. Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожденная векторным полем.

7. Распределения и теорема Фробениуса.

8. Тензорные поля, дифференциальные формы. Риманова метрика, форма объема. Внешний дифференциал.

9. Производная Ли. Тождество Картана. Операция Ходжа. Связь внешнего дифференциала с градиентом, ротором и дивергенцией.

10. Ориентация многообразия. Плотности. Интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Интегрирование по цепям, теорема Стокса для интегрирования по цепям.

11. Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь с формулами Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.

12. Элементы теории групп и алгебр Ли.

13. Действия групп Ли. Однородные многообразия.

14. Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным носителем. Лемма Пуанкаре. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса.

15. Свойства когомологий де Рама (конечномерность, формула Кюннета и так далее). Теорема де Рама. Теорема Ходжа (без доказательства).