В весеннем семестре 2007 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
| Осень, 2000 | Весна, 2001 | Осень, 2001 | Весна, 2002 | Осень, 2002 |
| Весна, 2003 | Осень, 2003 | Весна, 2004 | Осень, 2004 | Весна, 2005 |
| Осень, 2005 | Весна, 2006 | Осень, 2006 |
Пятница, 11 мая 2007, 17.00, ауд. 206
Рассматриваются гармонические отображения римановой сферы в пространства петель $\Omega G$ компактных групп Ли $G$. Интерес к таким отображениям мотивируется результатом Атьи-Дональдсона, связывающим голоморфные сферы в пространствах петель $\Omega G$ с $G$-инстантонами на 4-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^4$. Исходя из этого результата, естественно выдвинуть гипотезу о том, гармонические сферы в пространствах петель $\Omega G$ должны быть аналогичным образом связаны с $G$-полями Янга-Миллса на $\mathbb R^4$.
Гармонические сферы в пространстве петель $\Omega G$ можно построить, вкладывая $\Omega G$ в бесконечномерный грассманиан Гильберта-Шмидта и применяя к полученным гармоническим отображениям в грассманиан твисторный подход. Этот подход позволяет свести задачу об описании гармонических сфер в грассманиане к задаче о построении псевдоголоморфных сфер в некоторых флаговых расслоениях над грассманианом.
Все необходимые сведения, относящиеся к теории гармонических отображений и бесконечномерным грассманианам будут сообщены в докладе.
В пятницу, 4 мая 2007, семинара не будет.
Пятница, 27 апреля 2007, 17.00, ауд. 206
Рассматриваются квазиклассические тау-функции, простейшие примеры которых происходят из бездисперсионного предела интегрируемых иерархий Кадомцева-Петвиашвили и цепочек Тоды, а наиболее значимым классом в современной математической физике являются препотенциалы в теории Виттена-Зайберга. Обсуждаются формулы вычетов для производных квазиклассических тау-функций, и связанные с ними дифференциальные уравнения (бездисперсионные уравнения Хироты и их аналоги, а также уравнения ассоциативности или ВДВВ). При удаче и наличии времени можно будет еще затронуть связь препотенциалов Виттена-Зайберга с инстантонными статсуммами Некрасова и производящими функциями классов Громова-Виттена.
Пятница, 20 апреля 2007, 17.00, ауд. 206
Teoriya malochlenov (Khovanskii, nachalo 80-kh) osnovana na mnogomernom obobshchenii teoremy Rolya. Ona prosta i soderzhit dva osnovnykh varianta: pervyi variant predstavlyaet soboi obshirnuyu kategoriyu veshestvennykh transtsendentnykh mnogoobrasii, dlya kotorykh vse topologicheskie invarianty konechny i dopuskayut yavnuyu otsenku sverkhu. Eta kategoriya obobshchaet veshestvennye albebraicheskie mnogoobraziya. Vtoroi variant -- analogichnaya kategoriya, obobshayushchaya veshestvennye analiticheskie mnogoobraziya.
Teoriya malochlenov primenima k poverkhnostyam urovnya veshestvennykh abelevykh integralov, rassmatrivaemykh kak funktsii parametrov. Ee primenenie v etoi situatsii pozvololilo reshitp1 problemu Gil'berta-Arnol'da, yavlyayushuyusya linearizatsiei okolo gamil'tonovykh vektornykh polei 16-i problemy Gil'berta o predel'nykh tsiklakh ploskikh polinomial'nykh vektornykh polei (Varchenko, Khovanskii, nachalo 80-kh ).
Nadeyus', chto doklad budet dostupen studentam.
Пятница, 13 апреля 2007, 17.00, ауд. 206
Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности рода g>1 находятся через тэта-функции Римана для этой поверхности. Доказывается, что векторное расслоение Прима, составленное из гармонических дифференциалов Прима, и векторное когомологическое расслоение Ганнинга, из их периодов, будут вещественно аналитично изоморфными над произведением пространства Тейхмюллера и пространства нормированных характеров фундаментальной группы поверхности. Находится большой класс нетривиальных матричных представлений для группы Торелли. Строится базис голоморфных дифференциалов Прима, голоморфно зависящий от характеров и от модулей компактных римановых поверхностей.
Пятница, 6 апреля 2007, 17.00, ауд. 206
V doklade budet rassmotreno opredelenie i osnovnie svoistva kategorii Fukai v razlichnih situatsiyah. Budut rassmotreni prosteishie primeri.
Пятница, 30 марта 2007, 17.00, ауд. 206
Изучаются линейные ассоциативные деформации матричного умножения. Оказывается, что эти деформации находятся во взаимно- однозначном соответствии с представлениями некоторых новых алгебраических структур. Описывается важный класс таких структур, связанный с аффинными схемами Дынкина типов A,D и E. Приводятся соответствующие интегрируемые системы ОДУ. Гамильтонова структура для такой системы задается линейной GL-скобкой Пуассона, функция Гамильтона является некоторым однородным квадратичным многочленом.
Пятница, 23 марта 2007, 17.00, ауд. 206
In the talk we consider the paper A.Okounkov, A.Vershik "A new approach to representation theory of symmetric groups" (Selecta Math. New Series 2:4(1996),p.581-605) and its second version, which appeared as an appendix to the russian translation of the book "Young tableaux" by W.Fulton. The authors suggests a new method to construct the complex irreducible representations of the symmetric groups. In particular they study Young graph as the branching diagram of the chain S_1\subset S_2\subset S_3\subset\dots and thus obtain the main representation objects inductively. This approach seems to be closer to the modern representation-combinatorial problems than the traditional one.
Пятница, 16 марта 2007, 17.00, ауд. 206
Что общего между следующими тремя задачами:
1) Оценка Кастельнуово для рода алгебраической кривой в зависимости от её степени;
2) Оценка для размерности линейной системы гиперплоских сечений проективного многообразия $X^n\subset\Bbb P^N$, $N\le2n$ (т.е. максимальная глубина изоморфной проекции);
3) Теорема Ходжа об индексе?
Оказывается, что их решение вытекает из элементарного результата грассмановой геометрии. Мы вводим естественную (дискретную) метрику на грассмановых многообразиях и исследуем подмногообразия грассманианов, имеющие диаметр меньше ожидаемого. Эквивалентным образом, рассматриваются семейства линейных подпространств, пересекающихся друг с другом сильнее ожидаемого. При некоторых естественных предположениях получена оценка для размерности объемлющего линейного пространства (линейной оболочки семейства), что позволяет с единой точки зрения рассмотреть многие, казалось бы не связанные между собой, задачи из разных разделов геометрии.
Пятница, 9 марта 2007, 17.00, ауд. 206
Алгебраическая кривая вместе с непостоянной рациональной функций на ней называется парой Фрида, если функция имеет не более четырёх критических значений, и парой Белого -- если не более трёх. Пары Фрида образуют алгебраические кривые в (надлежащим образом компактифицированных) пространствах Гурвица, а пары Белого соответствуют замечательным точкам на этих кривых.
Задача явного описания обоих типов пар весьма трудна, а общая теория находится в довольно ранней стадии. Тем не менее, этот подход проявил свою плодотворность в завершённом недавно вычислении всех 134 пар Белого, соответствующих детским рисункам с 1,2,3 и 4 рёбрами. В докладе будет рассказано о части этих вычислений, относящейся к торическим одноклеточным 4-х рёберным рисункам.
Пятница, 2 марта 2007, 17.00, ауд. 206
В 2001 году И.М.Кричевер, с целью доказательства гамильтоновой природы уравнений типа Лакса, ввел описание операторов Лакса, зависящих от спектрального параметра на римановой поверхности. Значительно позднее мы вместе заметили, что эти операторы образуют ассоциативную алгебру, а соответствующая алгебра Ли во многом аналогична и алгебрам петель, и алгебрам токов Кричевера-Новикова. Возник вопрос о существовании ортогональных и симплектических аналогов операторов Лакса. Эта задача нами решена. Построенные ортогональные и симплектические аналоги операторов Лакса уже не образуют ассоциативной алгебры, а только алгебру Ли, с сохранением всех отмеченных выше аналогий. Исследована почти градуированная структура этих алгебр, доказано существование и единственность почти градуированного центрального расширения. Обо всех этих результатах, полученных совместно с И.М.Кричевером и М.Шлихенмайером, планируется рассказать в докладе.
В пятницу 23 февраля семинара не будет.
Пятница, 16 февраля 2007, 17.00, ауд. 206
В докладе мне бы хотелось рассказать о некоторых недавно выполненых компьютерных экспериментах.
Достаточно популярная тема в настоящее время -- прямолинейная динамика на римановых поверхностях. Пусть $\omega$ - голоморфная форма на компактной римановой поверхности $\Gamma$, то она задает почти всюду плоскую метрику, кривизна которой сосредоточена в особых точках. Уравнение $Re\omega(\alpha dx)=0$ задает слоение на $\Gamma$, топология которого оказывается достаточно богатой.
Важное приложение -- квазиклассическое движение электрона в достаточно сильных магнитных полях при низких температурах, изучавшееся в работах харьковской школы: (И.М.Лифшиц, Асбель, Каганов, Песчанский). Топология траекторий была исследована в работах С.П.Новикова и его учеников (Зорич, Дынников, Царев, Мальцев и др). Связь с низкотемпературной проводимостью исследована в недавних работах Новикова и Мальцева.
Другой пример, достаточно близкий к первому -- гамильтоновы потоки на римановых поверхностях с почти всюду плоской метрикой. Если выбрать кривую на поверхности, нигде не касающуюся потоку, то гамильтонова динамика может быть перекодирована в отображение перекладывания отрезка--одну их базисных моделей статфизики. Оказывается, что свойства отображения перекладывания отрезка можно исследовать с помощью теории римановых поверхностей (потоки на пространстве модулей)( Masur, Veech, Зорич, Концевич).
Поскольку у нас имеется почти всюду плоская метрика, то кроме движений по прямой можно рассматривать и движение по окружностям постоянного радиуса. В частности, если в нелинейном осцилляторе $x''=-x^{2n+1}$ следуя F.Calogero ввести комплексное время и рассмотреть движение по окружности в плоскости комплексного времени, то возникает в в точности эта динамика, про которую практически нет аналитических результатов. Компьютерные эксперименты показывают крайне нетривиальное поведение. Описанная динамика чисто периодична для окружностей достаточно малого радиуса, но при увеличении радиуса из-за ветвления решений поведение сильно усложняется. Численный счет указывет на появление хаотических режимов и фракталов на множестве начальных условий при $n>5$. Некоторое гипотетическое объяснение критического значения $n$ будет предложено.
