В 2004 году вступительные экзамены в НМУ отменены. Варианты за 2003 год и ранее приводятся исключительно в справочных целях.
[ Ранее 1998 (Earlier
than 1998)|1998, лето|1998, осень
1999, весна|1999,
осень|2000, лето|2000,
осень
2001,
лето|2001,
осень|2002,
лето|2002, осень
2003,
лето|2003, осень]
[Postscript (30K)|Zipped postscript (9K)]
28 июня 1998 года
1. Найти натуральное число, которое при делении на 9, 16 и 25 дает в остатке 2, 6 и 11 соответственно.
2. Построить взаимно однозначное соответствие между точками интервала (0;1) и отрезка [0;1].
3. Сколько существует перестановок множества из 7 элементов, разлагающихся в произведение 3-цикла и двух 2-циклов (все циклы попарно не пересекаются)?
4. Есть ли общие действительные корни у многочленов
4 3 2
x + 2x + x + 1
и
4 2
-x + x + 2x + 1?
5. Описать и изобразить на комплексной плоскости множество комплексных чисел a, для которых уравнение z+(1/z)=a имеет решение, по модулю меньшее единицы.
6. Множество действительных чисел X получается всеми возможными перестановками цифр в бесконечной десятичной дроби, которой записывается число 1/7. Найти точную верхнюю и точную нижнюю грань этого множества.
7. Указать какое-нибудь M>0 такое, что при всех x>M погрешность приближенной формулы \sqrt{x+1}-\sqrt{x}\approx 1/(2\sqrt{x}) не превосходит 0,01% ее правой части [знак \sqrt означает "квадратный корень", знак \approx означает "приближенно равно"].
8. Доказать, что если функция f из множества действительных чисел во множество действительных чисел принимает значения разных знаков, то найдутся две точки на расстоянии менее 0,001, в которых функция имеет разный знак [если одно из двух чисел равно нулю, то считаем, что они имеют разный знак].
9. Найти интеграл от 0 до 2 от функции g(x), где g(a) - решение уравнения
5
x + x = a.
10. Доказать, что ряд
1 1 1
1 + --- + --- + --- + ...
5 5 5
2 3 4
сходится;
указать десятичную дробь, отстоящую от его суммы не более чем на
0,001 (ответ должен быть обоснован, калькулятором
пользоваться нельзя).
11. Рассмотрим правильный 6-угольник ABCDEF. Описать движение плоскости, которое получается композицией отражений относительно прямых AB, BC, CD, DE, EF, FA, взятых в указанном порядке.
12. Назовем "супермагическим квадратом" квадратную таблицу 4x4, заполненную действительными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равна нулю. Найти размерность векторного пространства, состоящего из всех супермагических квадратов.
[Postscript (22K)|Zipped postscript (7K)]
7 сентября 1998 года
1. Строго по меридиану от 30 градусов южной широты до 30 градусов северной широты плывет корабль. На палубе корабля закреплена пушка, ствол которой строго горизонтален и направлен под углом 30 градусов к курсу корабля. Найти угол между направлениями ствола пушки в начале и конце пути.
2. Доказать, что функция y=sin(x) + sin(x\sqrt{2}) не является периодической (\sqrt означает "квадратный корень").
3. Доказать, что из системы неравенств
y+1 \ge |2x|
y-2 \le |x|
y \ge 0
следует неравенство x + (y-1)^2 \le 19.4. Имеется бесконечный лист клетчатой бумаги (все клеточки - квадраты со стороной 1 см). Рассматриваются всевозможные отрезки длиной 10 см, не параллельные линиям сетки. Какое наибольшее и наименьшее число линий сетки может пересечь такой отрезок? (Если конец отрезка лежит на линии, это тоже считается пересечением.)
5. f(x) - многочлен третьей степени. Всегда ли существуют такие многочлены первой степени a(x) и b(x), что выполнено тождество
3 3
f(x)=(a(x)) + (b(x)) ?
Коэффициенты многочленов - действительные числа.
[Postscript (32K)|Zipped postscript (10K)]
28 июня 1999 года
1. Найдите наибольший общий делитель чисел
2.3.5.7.11.13.17.19 + 23.29.31.37.41.43
и
2.3.5.7.11.13 + 17.19.23.29.31.37.41.43.
(точка обозначает умножение).
2. Докажите, что при некотором действительном a из многочлена
4 4 4 4
p(x)=a + x + (x-1) + (x-2) + ... + (x-10)
``извлекается квадратный корень'' (другими словами, есть многочлен с действительными коэффициентами q(x) такой, что p=q^2).
3. Про комплексные числа z и w известно, что |z-1|<0,5 и |w-i|<0,5. Может ли так случиться, что |z/w-1|<0,5?
4. Сколькими способами можно раскрасить вершины A_1, A_2, ..., A_11 правильного 11-угольника в синий и красный цвет так, чтобы полученная картинка не имела оси симметрии?
5. Некоторое множество попарно непересекающихся отрезков прямой покрасили в белый цвет. Может ли так случиться, что на любом отрезке есть белая точка? (Точка отрезком не считается.)
6. Докажите, что любой отрезок луча [2;+\infty) (\infty означает "бесконечность") содержит лишь конечное число точек вида a^a/b^b, где a и b - натуральные числа. (Значок ^ означает "возведение в степень".)
7. Докажите, что никакая целая степень числа (1+\sqrt{-15})/4 не равна 1. (\sqrt означает "квадратный корень".)
8. Возрастающая последовательность a_1, a_2, ... , a_n, ... натуральных чисел такова, что суммы a_i+a_j пар чисел из этой последовательности попарно различны. Докажите, что ряд
1 1 1 --- + --- + ... + --- + ... a_1 a_2 a_n
сходится.
9. Докажите, что сумма
/ p_1 \ / p_n \
p_1.ln | --- | + ... + p_n.ln | --- |
\ q_1 / \ q_n /
неотрицательна, если
p_1+...+p_n = q_1+...+q_n = 1
и все числа p_1, ..., p_n и q_1, ..., q_n положительны. Найдите все случаи, когда неравенство обращается в равенство.
10. Непрерывная на действительной прямой функция f(x) удовлетворяет уравнению f(f(x))= f(x). Известно, что f(0)=0, f(1)=1. Найдите все возможные значения f(1/2).
11. Докажите, что любой поворот относительно прямой в трехмерном пространстве есть композиция двух поворотов на 180 градусов.
12. Множество P в шестимерном координатном пространстве R^6 состоит из таких точек (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6), что точки
(x_1,x_2), (x_3,x_4), (x_5,x_6)
являются вершинами правильного треугольника в R^2, перечисленными в порядке обхода против часовой стрелки.
Найдите наименьшую размерность подпространства в R^6, содержащего множество P.
[Postscript (25K)|Zipped postscript (8K)]
6 сентября 1999 года
1. Могут ли абсциссы вершин правильного шестиугольника на координатной плоскости образовывать (в каком-нибудь порядке) арифметическую прогрессию?
2. Известно, что sin(x)=3/5. Докажите, что sin(125x) равен дроби со знаменателем 5^{125}, числитель которой не делится на 5. [Значок ^ означает возведение в степень.]
3. Точки A и B лежат на параболе, заданной уравнением y=x^2. На дуге AB параболы выбрана такая точка M, что площадь треугольника AMB является наибольшей. Докажите, что касательная к параболе в точке M параллельна отрезку AB.
4. Существует ли в пространстве окружность с центром в точке (2,3,4), касающаяся всех трех координатных плоскостей? (По определению, окружность в пространстве касается плоскости, если она имеет с плоскостью ровно одну общую точку.)
5. Докажите, что для любого набора неотрицательных чисел
x ,x ,...,x
1 2 n
выполнено неравенство
4 4 4 (x + x + ... + x )(x + x +...+ x ) \ge 1 2 n 1 2 n 3 3 3 2 2 2 (x + x + ... + x )(x + x +...+ x ) 1 2 n 1 2 n
[\ge означает "больше или равно"].
6. Имеется 100-этажный небоскреб и два одинаковых стеклянных шарика. За какое наименьшее число попыток можно с гарантией определить самый низкий этаж, при бросании с которого шарики этого типа разбиваются?
Одна попытка - это одно бросание одного шарика с какого-то этажа. Если шарик после бросания не разбился, то он сохраняет все свои свойства и его можно использовать в дальнейшем; разбившийся шарик из игры выбывает. Если шарик разбивается при бросании с этажа номер n, то он разобьется и при бросании с этажа номер n+1. Шарики могут оказаться и небьющимися.
[Postscript (34K)|Zipped postscript (10K)]
27 июня 2000 года
Задачи, отмеченные звездочкой, - повышенной трудности; они оценивались особо.
1. Две окружности касаются прямой в точках A и B. Третья окружность касается той же прямой, а также первых двух окружностей в точках C и D. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
2. Найдите НОК(1,2,...,99)/НОК(2,4,6,...,200) (НОК - наименьшее общее кратное).
3. Блоха прыгает по координатной плоскости. Первый прыжок она делает из точки (0;0) в точку (1;0). Каждый следующий прыжок блохи в 2 раза короче предыдущего и образует с направлением предыдущего прыжка угол в 60 градусов против часовой стрелки. В какую точку прискачет блоха к концу времен?
4. На какую цифру заканчивается число C^{25}_{125} (количество 25-элементных подмножеств множества из 125 элементов)?
5. При каких a и n многочлен x^n-ax+1 имеет кратный вещественный корень (число~a вещественное, число n натуральное)?
6. Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число \sqrt{\sqrt5-1}+\sqrt{\sqrt5+1}. [\sqrt означает "квадратный корень".]
7. Разрешается поменять местами концы диагоналей любой грани куба. Сколько различных перестановок вершин можно получить композициями таких преобразований?
8. В вершинах куба расставлены действительные числа таким образом, что суммы чисел, стоящих в вершинах каждой из граней, равны одному и тому же числу. Найти размерность векторного пространства таких расстановок.
9. Обозначим через x_n корень уравнения
1 1 1 1 1 --- + --- + --- + --- + ... + --- =0, x x-1 x-2 x-3 x-nпринадлежащий (0;1).
а) Докажите, что последовательность x_n сходится.
б*) Найдите ее предел.
10*. Множество действительных чисел покрыто интервалами. Точки, покрытые конечным количеством интервалов, покрашены в черный цвет, остальные - в белый.
а) Может ли так случиться, что все рациональные числа покрашены в белый цвет, а все иррациональные - в черный?
б) А наоборот?
11*. Найдите наименьшее значение выражения (x^2+y^2+z^2) при условии 1+2xyz=x^2+y^2+z^2.
[Postscript (34K)|Zipped postscript (10K)]
3 сентября 2000 года
1. Сколько существует различных чисел x на отрезке от нуля до "пи", для которых разность x-sinx является целым числом?
2. Докажите, что на любом интервале встречается лишь конечное количество чисел вида x^x/y^y, где x, y натуральные и x>y. [a^b означает "a в степени b".]
3. Окружность радиуса 1 находится внутри треугольника со сторонами 13, 14, 15. На окружности отметили точку, для которой сумма расстояний до сторон треугольника минимальна, а также точку, для которой эта сумма максимальна. Найдите расстояние между этими точками.
4. а) Может ли параллельная проекция куба быть пятиугольником?
б) Может ли центральная проекция куба быть пятиугольником?
5. Четыре цилиндрические трубы диаметра 10 см обрезали и сварили из них рамку таким образом, что оси труб образуют квадрат со стороной 1 м, а края обрезков труб примыкают друг к другу. Какова площадь поверхности рамки?
6. Можно ли на плоскости нарисовать конечное число окружностей так, чтобы на каждой из них лежало ровно 2000 центров этих окружностей?
[Postscript (30K)|Zipped postscript (12K)]
26 июня 2001 года
1. Разрешается переходить от числа к обратному, а также вычитать или добавлять единицу. Докажите, что такими операциями из любого рационального числа можно получить любое другое рациональное число.
2. На окружности выбрана точка P_1; ее соединяют с точкой P_2 на окружности, отстоящей от точки P_1 на 78 градусов по часовой стрелке, точку P_2 --- с точкой P_3 на окружности, отстоящей от P_2 на 78 градусов по часовой стрелке, и так далее, пока ломаная не замкнется. Сколько у этой ломаной будет точек самопересечения?
3. Найти (какое-нибудь) натуральное число n, обладающее тем свойством, что
\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]n<10^{-9}.
(\sqrt[3] означает "корень третьей степени", ^ -
знак возаедения в степень).
4. На комплексной плоскости дана окружность |z-i|=r. При каких r ее образ при действии отображения, переводящего z в z^2 (квадрат числа z) имеет самопересечения?
5. Семь человек должны унести семь одинаковых тюков. Каждый может нести не больше двух тюков. Сколькими способами можно распределить поклажу между людьми?
6. Функция f сопоставляет числу x из интервала (0;1) такое число y, что десятичная запись x совпадает с одиннадцатеричной записью y (при десятичной записи числа x нельзя пользоваться периодическими дробями с периодом, состоящим из одних девяток). Верно ли, что функция f непрерывна?
7. Может ли композиция параллельных проектирований быть поворотом? Другими словами, можно ли задать в пространстве последовательность (не обязательно параллельных) плоскостей P_1, P_2,..., P_n=P_1 и параллельных проекций p_i: P_i-->P_{i+1}, чтобы композиция p_{n-1}p_{n-2}...p_1: P_1--> P_1 являлась нетождественным поворотом?
8. Катер, движущийся с постоянной скоростью и курсом (азимутом), прибыл за сутки из точки с широтой и долготой 0 градусов в точку с координатами 10 градусов южной широты и 10 градусов западной долготы. Каковы будут координаты катера еще через сутки?
Ответ достаточно дать с точностью 10 процентов; к варианту прилагалась таблица синусов и косинусов с шагом 5 градусов.
[Postscript (30K)|Zipped postscript (12K)]
2 сентября 2001 года
1. Два зеркала образуют двугранный угол величиной 3 градуса. Сколько раз отразится в этих зеркалах луч света, параллельный одному из зеркал и перпендикулярный ребру двугранного угла?
2. Три плоских угла при вершине треугольной пирамиды прямые. Докажите, что сумма квадратов площадей трех граней этой пирамиды равна квадрату площади четвертой грани.
3. На координатную плоскость нанесены всевозможные точки с координатами (m,n), где m --- натуральное число, n --- количество цифр в десятичной записи числа "два в степени m". Докажите, что существуют такие две параллельные прямые, находящиеся на расстоянии 1 одна от другой, что все эти точки расположены в полосе между прямыми.
4. Многочлен имеет вид f=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) (a_i --- не обязательно различные действительные числа). Кроме того, для некоторого действительного a выполнено тождество f(x^2)=f(x)f(x+a) (x^2 означает "икс в квадрате"). Найдите a, при которых это возможно; опишите для них соответствующие f.
5. Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABD и CBD.
[Postscript (25K)|Zipped postscript (11K)]
30 июня 2002 года
1. В момент времени t=0 точки A и B плоскости находятся на расстоянии 20 и начинают двигаться равномерно и прямолинейно со скоростями 4 и 6. Будем называть пару (t,d) достижимой, если существуют такие направления движения точек, что в момент t они окажутся на расстоянии d. Нарисовать множество всех достижимых пар (на плоскости с координатами $(t,d)$).
2. Докажите, что уравнение P(x)=2^x, где P --- многочлен степени n, имеет не более n+1 решений.
3. Имеется угол в 120 градусов, внутри которого находятся концы отрезка длиной 2. Рассмотрим множество всех точек M внутри угла, которые не могут быть серединой такого отрезка. Найти площадь этого множества.
4. Пусть имеется несколько неотрицательных чисел, каждое из которых не меньше 1 и не больше C. Сумма этих чисел равна S. Докажите, что для некоторых k, l можно так выбрать из имеющихся чисел $k$ штук, каждое не меньше l, чтобы kl\ge S/(1+\ln C). [\ge означает "больше или равно".]
5. На кирпиче 3x4x5 в центре грани 3x4 имеется чернильное пятно (точечное). Кирпич начали катать по плоскости, при этом пятно пачкает плоскость, а плоскость --- кирпич, и так далее. Каково максимальное количество испачканных точек на поверхности кирпича?
[Postscript (19K)|Zipped postscript (8K)]
8 сентября 2002 года
1. Докажите, что существует выпуклый 20-угольник, никакие три диагонали которого не проходят через одну точку (вершины исключаются).
2. (Продолжение) На окружности отмечено 160000 различных точек. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся вершины 20-угольника, удовлетворяющего условию задачи 1.
3. Докажите, что для любых положительных чисел a,b,c выполняется неравенство
a b c --- + --- + --- < 2. a+b b+c c+a
4. Для каждой точки плоскости (a,b) укажите, сколько есть различных кратчайших путей между диаметрально противоположными вершинами прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер a,b,1, проходящих по поверхности этого параллелепипеда.
5. Оси двух бесконечных цилиндров радиуса R пересекаются под углом \alpha>0. Найдите объем пересечения внутренностей этих цилиндров.
[Postscript (25K)|Zipped postscript (10K)]
29 июня 2003 года
1. Известно, что a3+b3 делится на 391 (a, b --- целые числа). Докажите, что a+b делится на 391.
2. Объем параллелепипеда (не обязательно прямоугольного) равен V. Для каждой его вершины X рассмотрим не содержащее точки X полупространство HX, граница которого проходит через три вершины, соседние с X. Найти объем тела, представляющего собой пересечение всех полупространств HX.
3. Сумма трех комплексных чисел равна 0, сумма их квадратов также равна 0, сумма кубов также равна 0. Верно ли, что сумма четвертых степеней этих чисел также равна 0?
4. Для каждого положительного числа x обозначим через f(x) количество десятичных знаков в целой части x. Найти предел отношения f(\sqrt n)/f(n) при n, стремящемся к бесконечности (через \sqrt n обозначен квадратный корень из n).
5. Из угла прямоугольного бильярда размером 1789 x 2003 выпускают под углом 45 градусов к борту бильярдный шар; он движется по закону "угол падения равен углу отражения", пока не попадет в угол. На сколько частей траектория шара разобьет бильярд?
6. Требуется раскрасить точки с целыми координатами в n цветов, чтобы точки каждого цвета образовывали квадратную сетку большего размера (одного и того же для всех цветов). Возможно ли это (a) при n=5; (б) при n=7; (в) при n=185?
[Postscript (25K)|Zipped postscript (10K)]
7 сентября 2003 года
1. Выпуклый пятиугольник P гомотетичен пятиугольнику, построенному на серединах его сторон. Верно ли, что P --- правильный?
2. а) Докажите, что двумя кругами радиуса 1/2 нельзя полностью покрыть квадрат со стороной 1.
б) Можно ли двумя кругами радиуса 1/2 покрыть 95% площади квадрата со стороной 1?
3. Точка A расположена на границе верхнего основания прямого кругового цилиндра высоты h и радиуса 1. Точка B лежит на границе нижнего основания и повернута относительно A на 90 градусов (то есть, равен 90 градусов угол между плоскостями, проходящими через ось цилиндра и точки A, B соответственно).
[
При каких значениях h кратчайший путь по поверхности цилиндра из A в B не проходит через основания цилиндров?
4. Доказать, что
cos(5п/33)cos(7п/33)cos(10п/33)cos(13п/33)cos(14п/33)=1/32.(через п обозначено число "пи").
5. В клетках доски размером 100x100 расставлены 2000 крестиков. Докажите, что есть прямоугольник (со сторонами, параллельными краям доски), во всех четырех вершинах которого стоят крестики.
