[1991, лето|1991, осень| 1992, лето|1992, осень
1993,
лето|1993, осень| 1994,
лето|1994, осень
1995, лето|1995, осень| 1996, лето|1996, осень
1997, лето|1997, осень]
[Postscript (27K)|Zipped postscript (9K)]
25 июня 1991 года
1. Докажите, что для того, чтобы треугольник ABC был остроугольным, необходимо и достаточно, чтобы нашлись такие точки A' внутри стороны BC, B' внутри стороны AC и C' внутри стороны AB, что отрезки AA', BB' и CC' равны.
2. Найти отношение радиуса шара, вписанного в правильный тетраэдр, к радиусу шара, описанного вокруг этого тетраэдра.
3. Существует ли бесконечная последовательность из 0 и 1, такая, что любая подпоследовательность, образованная элементами с номерами, составляющими арифметическую прогрессию, непериодична?
4. Для любых вещественных x и y выполняется неравенство
2
f(x) - f(y) \le (x-y)
(\le означает "меньше или равно"). Найдите
все такие функции f.
5. Пусть
a , a , ... , a
1 2 100
- некоторая перестановка чисел 1, 2, 3, ... 100. Докажите, что
сумма
a + 2a + 3a + ... + 100a
1 2 3 100
достигает наименьшего возможного значения для перестановки 100,
99, ..., 2, 1.
6. Дан отрезок AB, полукруг, построенный на нем как на диаметре, и две прямые, проходящие через точки A и B и касающиеся полукруга. Требутеся найти прямую, параллельную AB и такую, чтобы сумма площадей трех криволинейных фигур - двух треугольников и одного сегмента - была минимальна.
27 июня 1991 года
7. Доказать, что многочлен
2n 2n-1 2n-2
x - 2x + 3x - ... - 2nx + 2n+1
не имеет действительных корней.
8. Пусть L_1 и L_2 - периметры правильных n-угольников - описанного вокруг окружности длины L и вписанного в эту окружность, S_1 и S_2 - площади этих многоугольников, S - площадь круга. Докажите, что:
2
L L > L ;
1 2
2
S S < S .
1 2
9. Докажите, что число
n n-1
2 2
2 + 2 + 1
разлагается в произведение не менее, чем n простых
множителей (не обязательно различных).
10. Назовем коэффициентом неравнобедренности треугольника ближайшее к единице из отношений его сторон. Какие значения может принимать коэффициент неравнобедренности?
[Postscript (30K)|Zipped postscript (9K)]
26 сентября 1991 года
1. В треугольнике ABC угол BAC равен шестидесяти градусам. BD и CE - биссектрисы углов ABC и ACB соответственно, O - точка пересечения BD и CE. Докажите, что отрезки OD и OE равны.
2. Докажите, что если cos(a)=b и cos(b)=a, то a=b.
3. Правильный треугольник со стороной a покрыт пятью правильными треугольниками со стороной b. Докажите, что правильный треугольник со стороной a можно покрыть четырьмя правильными треугольниками со стороной b.
4. Каждое из положительных чисел a_1, a_2, ... , a_n меньше суммы остальных. Докажите, что существует выпуклый многоугольник, стороны которого равны a_1, a_2, ... , a_n.
5. Пусть
S = x + x + ... + x + x
1 2 n-1 n
(все x_i положительны). Докажите, что
2 n
S S S
(1+x )(1+x )...(1+x ) \le 1 + --- + --- + ... + ---
1 2 n 1! 2! n!
(знак \le означает "меньше или равно").
6. Фигура S представляет собой область плоскости, лежащую выше параболы y=x^2 в декартовой системе координат. Можно ли конечным числом фигур, равных S (и как угодно ориентированнных) покрыть плоскость?
3 октября 1991 года
7. Докажите, что ломаную длины L можно покрыть прямоугольником площади L^2/2 (стороны включаются в прямоугольник).
8. В пространстве расположено N треугольников таким образом. что каждые два имеют одну общую вершину и не имеют других общих точек, причем в каждой вершине сходится одинаковое число треугольников. Какие значения может принимать число N?
(Под треугольником в этой задаче понимается треугольник "без внутренности", то есть объединение трех отрезков, соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой).
9. Решить уравнение
sin 7x + sin 8x = 1,99999.
10. Найти наименьшее значение функции
f(x) = \sqrt{(x-1)^2 + 9} + \sqrt{(x-8)^2 + 16}
(\sqrt означает "квадратный корень"; число x - действительное).
[Postscript (30K)|Zipped postscript (9K)]
23 июня 1992 года
1. Пространственный неплоский шестиугольник имеет три пары параллельных противоположных сторон. Докажите, что в каждой из этих пар стороны равны.
2. Существует ли бесконечная возрастающая последовательность {a_n} неотрицательных целых чисел, для которой при любых i и j выполняется равенство a_{ij}=a_i+a_j ?
3. Известны расстояния a, b и с от точки M пространства до вершин A, B и C прямоугольника ABCD. Чему может быть равно расстояние от M до вершины D?
4. Найдите наибольшее значение выражения
x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_{n-1}x_n,
если x_1, ..., x_n - неотрицательные действительные числа, причем
x_1 + ... + x_n=1.
5. Провести через точку P внутри данного угла отрезок MN с концами на сторонах угла так, чтобы произведение отрезков MP и PN было наименьшим.
6. Все вершины равнобочной трапеции лежат на параболе. Докажите, что основания трапеции перпендикулярны оси параболы.
26 июня 1992 года
7. Докажите, что
\int_{-4}^4 \sqrt{x^2+9}dx * \int_3^5\sqrt{x^2-9}dx < 200
(\sqrt означает "квадратный корень", \int_a^b - "интеграл от a до
b", звездочка - знак
умножения).
8. Существует ли рациональная функция R(x), не являющаяся константой и такая, что для любого x, для которого она имеет смысл, выполняются два равенства:
R(x) = R(1/x);
R(x) = R(1-x)
(R(x) называется рациональной функцией, если ее можно представить
как отношение двух многочленов от x; подразумевается, что
многочлен, стоящий в знаменателе, не является тождественным нулем).
9. Рассмотрим четыре угла между плоскостями граней правильного тетраэдра и некоторой фиксированной плоскостью.
а) Докажите, что косинусам этих углов можно приписать знаки так, что их сумма будет равна нулю.
б) Докажите, что сумма квадратов косинусов этих углов равна 4/3.
[Postscript (25K)|Zipped postscript (8K)]
1 октября 1992 года
1. Найти все арифметические прогрессии, для которых отношение суммы первых n членов к сумме первых kn членов не зависит от n (k>1 - некоторая константа).
2. Число a - корень уравнения x^7-2x+1=0, число b - корень уравнения 2x^7-x+1=0. Что больше: a или b?
3. Через P(n) обозначим число способов представления натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых (порядок слагаемых несущественен: например, P(4)=5, так как 4=4, 4=3+1, 4=2+2, 4=2+1+1, 4=1+1+1+1). Докажите, что при n>1 выполнено неравенство
P(n+1) + P(n-1) \ge 2P(n)(знак \ge означает "больше или равно").
4. Дан трехгранный угол OABC. Точка M взята на биссектрисе угла AOB, точка N - на биссектрисе угла BOC, точка P - пересечение прямой MN с плоскостью AOC. Докажите, что точка P равноудалена от прямых OA и OC.
5.
Докажите, что для любой линейной функции f(x) найдется точка на
отрезке [-\pi/2; \pi/2], для которой |sin(x) - f(x)| \ge
1/8.
(Обозначения: \pi - число "пи", \ge - "больше или равно".)
6. Дан многочлен x^4+ax^3+bx^2+cx+d. Определите, при каких условиях на коэффициенты a, b, c, d существует прямая, касающаяся его графика в двух различных точках.
[Postscript (33K)|Zipped postscript (10K)]
26 июня 1993 года
1. Прямые L_1, L_2, ... L_n на плоскости пересекаются в одной точке. Докажите, что геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до этих прямых постоянна, есть граница выпуклого многоугольника.
2. Укажите разложения многочлена x^10 + x^5 +1 на множители, являющиеся многочленами ненулевой степени с целыми коэффициентами.
3. Функция F(x) определена для всех вещественных значений x и для всех x выполняются неравенства:
F(x+3) \le F(x) + 3; F(x+2) \ge F(x) + 2(знак \ge означает "больше или равно"). Докажите, что функция F(x) может быть представлена в виде F(x)=x+G(x), где G(x) - периодическая функция.
4. Из вершины с координатами (0,0,0) единичного куба 0\le x,y,z \le 1 (\le означает "меньше или равно") летает маленький мяч со скоростью v=(6,15,10). Мяч отскакивает от стен куба в соответствии с правилом "угол падения равен углу отражения" до тех пор, пока не ударится о ребро. В какое ребро попадет мяч и сколько отражений произойдет до этого?
5. Докажите, что
\int_0^1 e^{-x^2} dx > \int_0^1 3^{-(x-1)^2}dx.
6. Вершины единичного куба раскрашены в черный и белый цвета так, что концы любого ребра - разных цветов. Рассмотрим два тетраэдра: с черными вершинами и с белыми вершинами. Найдите объемы а) их пересечения; б) их объединения.
28 июня 1993 года
7. Множество M в пространстве таково, что его ортогональная проекция на некоторую плоскость есть треугольник со сторонами 3, 4 и 5, а ортогональная проекция на некоторую другую плоскость есть круг диаметра d. При каких d это возможно?
8. Сколько точек самопересечения у кривой, которую описывает точка M(x,y), если x=cos 15t, y=cos 17t, число t пробегает все значения от нуля до "пи"?
9. Показателем невписанности четырехугольника назовем наименьшее из таких чисел d, что перемещением вершин четырехугольника на расстояния, не превышающие d, их можно поместить на одной окружности (прямую считаем окружностью бесконечного радиуса). Найти максимальное значение показателя невписанности для ромбов со стороной 1.
10. О многочлене F(x)=a_0 + a_1x + ... + a_nx^n известно, что: 1) P(1)=1; 2) P(0,9)=0; 3) -0,1 \le P(x) \le 0 при 0\le x \le 0,9 (\le означает "меньше или равно"). Докажите, что: a) n>2; б) n>3.
[Postscript (25K)|Zipped postscript (9K)]
24 сентября 1993 года
1. Найти все параллелограммы, подобные своим серединным параллелограммам.
2. Может ли график квадратного трехчлена y=ax^2+bx+c касаться графика гиперболы y=1/x в двух различных точках?
3. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Доказать, что сумма квадратов длин медиан тетраэдра равна 4/9 суммы квадратов длин его ребер.
4. На клетчатой бумаге (длина стороны клетки равна 1) нарисована окружность радиусом 11\sqrt{3} с центром в вершине клетки. Сколько клеток она пересекает? [\sqrt означает "квадратный корень".]
5. Доказать, что любая натуральная степень числа \sqrt{3}-\sqrt{2} имеет вид \sqrt{N}-\sqrt{N-1} для некоторого натурального числа N (\sqrt означает "квадратный корень").
6. Можно ли расставить числа в таблицу n х n так, чтобы суммы чисел по строкам возрастали сверху вниз, а разности суммы чисел в i-той строке и в i-том столбце убывали бы с ростом i (сверху вниз)?
26 сентября 1993 года
7. Многочлен от двух переменных f(x,y) удовлетворяет для любого a и любого целого k соотношению f(a,k-a)=k. Найти значение f(1/2,1/2).
8. В пространстве задана точка, все координаты которой рациональны. Существует ли такая сфера, проходящая через эту точку, на которой нет иных точек с рациональными координатами?
9. Точка с координатами (x,y,z) удовлетворяет системе:
x-z+2yz/(y^2+z^2)=0;
y-z-cos(xz)=0.
Доказать, что расстояние от этой точки до прямой x=y=z не
превосходит квадратного корня из двух.
10. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Доказать, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD и ABD.
[Postscript (32K)|Zipped postscript (10K)]
27 июня 1994 года
1. Может ли уравнение
a_1 x_1 a_n x_n e + ... + e = 1
иметь два корня при некоторых значениях параметров a_1, a_2, ... a_n? (n>1).
2. На плоскости нарисовано несколько окружностей, проходящих через точку O и имеющих в этой точке общую касательную. Доказать, что существует дуга окружности, которая пересекает все эти окружности в различных точках под углом в 30 градусов.
3. При каких c система уравнений
y = x^2+c x = y^2+c
имеет решение? Как зависит число решений от c? Нарисовать на плоскости множество точек (x,y), которые являются решениями этой системы хотя бы для одного c.
4. Куб имеет сторону 10. Выбраны 4 его вершины, никакие две из которых не являются соседними (концами одного ребра). Доказать, что не существует плоскости, от которой все эти 4 вершины отстояли бы не более чем на 0.1.
5. На плоскости нарисовали тушью треугольник со сторонами 30, 40 и 50. Затем по плоскости прокатили цилиндр радиуса 1 из промокашки, на котором треугольник отпечатался в виде самопересекающейся кривой, причем образующая цилиндра не была перпендикулярна сторонам треугольника. Найти число точек самопересечения у линии-отпечатка на цилиндре. (Указать все возможности.)
6. Ортогональная проекция куба на плоскость - шестиугольник, координаты вершин которого равны (-50,-20), (-14,-45), (38,-45), (53,15), (17,40), (-35,40). Найти длину ребра куба.
29 июня 1994 года
7. Сумму дробей привели к общему знаменателю:
1 1 1 a_nx^n + ... + a_1x + a_0 --- + --- + ... + ----- = -------------------------- . x+1 x+2 x+100 (x+1)(x+2)...(x+100)
а) Найти n. б) Найти a_n. в) Сравнить a_0 по величине с 1, 10, 10^{10}, 10^{100}, 10^{1000}. (г) Доказать, что все a_i четны.
8. Найти на сфере единичного радиуса с центром в точке (0,0,0) точку, сумма квадратов расстояний от которой до точек (1,3,7), (2,5,6), (-1,2,7), (1,-3,4), (-1,3,-7) и (1,0,1) была бы минимальна.
9. На стороне OA угла AOB отложены точки A_1, A_2, A_3, A_4 через равные расстояния (A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4); на стороне OB, также через равные расстояния, отложены точки B_1, B_2, B_3, B_4. Найти площадь четырехугольника A_2B_2B_3A_3, если известны площади четырехугольников A_1B_1B_2A_2 = S_1 и A_3B_3B_4A_4 = S_2.
10. Последовательности a_n и b_n заданырекуррентно: a_0=b_0=2; a_{n+1}=a_n^2+5; b_{n+1}=b_n^2+2^n. Сравнить a_{1000} и b_{1000}.
[Postscript (34K)|Zipped postscript (10K)]
18 сентября 1994 года
1. Последовательность a_n задана соотношением: a_{n+1}=1/(1-a_n). Найти a_{17}, если a_1=3+\sqrt7 (знак \sqrt означает "квадратный корень").
2. Известно, что
1 a_1 a_2 a_{100}
-------------------- = --- + --- + ... + ------- .
(x+1)(x+2)...(x+100) x+1 x+2 x+100
Найти a_1.
3. Дан треугольник ABC. (1) Обозначим через M_h множество всех точек, которые отстоят от какой-либо точки на границе или внутри треугольника не более чем на h. (При h=0 получается сам треугольник вместе с внутренностью.) Доказать, что площадь множества M_h при положительных h имеет вид ah^2+bh+c. Чему равны коэффициенты a,b,c, если стороны треугольника равны 3, 4 и 5?
(2) Тот же вопрос, если M_h - множество точек, отстоящих не более чем на h от границы треугольника. Однако в этом случае площадь M_h является одним квадратным трехчленом от h для h, не превосходящих некоторого h_0, и другим для больших h. Указать оба этих трехчлена и h_0 для треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
4. Из прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон 3,4,5 вырезали тело, получающееся объединением всех шаров радиуса 1, целиком помещающихся в этот параллелепипед. Найти объем оставшейся части.
5. Найти радиус наибольшего круга, содержащего точку (0,0) и целиком содержащего во множестве {(x,y) : y\ge x^2} (знак \ge означает "больше или равно").
6. Может ли тетраэдр иметь целые координаты вершин, не содержать внутри себя и на своей границе других точек, все координаты которых целые, и иметь объем больше 1000?
25 сентября 1994 года
7. Указать все точки куба (внутри и на границе), через которые можно провести шестиугольное сечение.
8. На множестве целых чисел задана функция, принимающая целочисленные значения. Доказать, что ее можно представить в виде суммы трех взаимнооднозначных функций (принимающих каждое значение ровно один раз).
9. Круглый тор -- это поверхность, получаемая вращением окружности относительно прямой, лежащей с этой окружностью в одной плоскости. (1) Написать уравнение тора в прямоугольных координатах. (2) Найти максимальное число точек пересечения прямой и круглого тора.
10. Известно, что уравнение b+ax = sin x имеет при некоторых a и b ровно n решений. Сколько решений может иметь (при тех же a и b) уравнение b-ax= sin x?
[Postscript (34K)|Zipped postscript (10K)]
16 апреля 1995 года
1. При каких n существует решение системы
1 1
cos x_1 + --- cos x_2 + ... + ----- cos x_n =0
2 n-1
2
1 1
sin x_1 + --- sin x_2 + ... + ----- sin x_n =0 ?
2 n-1
2
2. Какое максимальное количество квадратных сечений может иметь тетраэдр?
3. Докажите, что значение многочлена x^{15}+2x^{14}+4x^{13}+ ... +2^{15} можно вычислить, сделав не более 7 арифметических действий (результаты промежуточных вычислений запоминаются).
4. Найти наименьшую длину гипотенузы прямоугольного треугольника, описанного вокруг окружности радиуса 1.
5. Решить уравнение x+1=1995(1995x^2-1)^2.
6. Доказать, что для любого k найдутся последовательные натуральные числа m и m+1 такие, что
(3-\sqrt8)^k=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}.
23 апреля 1995 года
7. а) Доказать, что суммами различных чисел вида 1/k (k - натуральное) можно сколь угодно точно приблизить числа на отрезке [0,1].
б) Как можно более точно оценить минимальное число слагаемых, необходимое для приближения чисел на отрезке [0,1] суммами указанного вида с точностью 10^{-6}.
8. Можно ли в правильном октаэдре с длиной ребра 1 м разместить восемь непересекающихся шаров диаметра 40 см?
9. Сколько решений имеет уравнение
x
log x = a
a
в зависимости от значений параметра a?
10. Числа a < b < c - корни уравнения x^3-3x+1. Найти a/b+b/c+c/a.
[Postscript (22K)|Zipped postscript (7K)]
3 сентября 1995 года
1. Цилиндрическую кружку радиуса 1 и высоты 2, наполненную до верха водой, наклонили на угол 30 градусов. Найти объем оставшейся воды.
2. На плоскости лежит вырезанный из бумаги квадрат ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке). За один шаг можно повернуть квадрат вокруг любой из его вершин на 90 градусов. Через несколько шагов квадрат возвращается на первоначальное место (возможно, повернутым). В каком месте может оказаться вершина A? Перечислить все варианты и доказать, что других нет.
3. В таблице из 11 строк и 10 столбцов записаны целые числа. Доказать, что можно выбрать некоторое количество строк так, чтобы в каждом столбце сумма чисел из выбранных строк была бы четной.
4. Доказать, что многочлен xy-1 не разлагается в произведение двух множителей вида ax+by+c.
5. Найти площадь проекции прямоугольного параллелепипеда 3 X 4 X 5 на плоскость, перпендикулярную его главной диагонали.
6. Найти наименьшее значение ординаты середины отрезка длины a, концы которого расположены на параболе y=x^2 (рассмотреть все возможные значения a).
[Postscript (24K)|Zipped postscript (7K)]
21 апреля 1996 года
1. Произведение двух положительных чисел меньше 1. Доказать, что оно меньше их среднего арифметического.
2. От круглого колеса отпилили некоторое количество непересекающихся сегментов, при этом ось колеса, проходящая через центр, осталась нетронутой. Катясь по плоскости, колесо делает ровно один оборот. Доказать, что длина траектории центра колеса зависит только от размеров и количества отпиленных сегментов.
3. Два путника, имеющие один на двоих велосипед, вышли из А в Б. Чтобы двигаться быстрее, они договорились, что один из них поедет на велосипеде вперед, потом оставит его где-нибудь на дороге для другого, второй подберет его и обгонит первого, затем также где-нибудь оставит велосипед, и так до тех пор, пока оба путника не окажутся одновременно в Б. Скорости путников пешком равны v_1, на велосипеде v_2, v_2 > v_1. Сколько времени им понадобилось, если расстояние АБ равно l?
4. Рейку прямоугольного сечения обернули бумагой и распилили. Край распила на бумаге представляет собой ломаную, два последовательных угла которой равны 130 градусов 150 градусов. Найти угол между плоскостью распила и направлением рейки.
5. Есть произведение
(a_1 \pm b_1 \pm c_1)(a_2 \pm b_2 \pm c_2)...
(100 скобок, в каждой один или два минуса; \pm означает "плюс-минус"). Доказать, что после раскрытия скобок члены с минусами будут составлять от 49 до 51 процента.
6. Найти максимально возможный радиус окружности, помещающейся внутрь прямоугольного параллелепипеда со сторонами a, b, c (в порядке возрастания).
[Postscript (23K)|Zipped postscript (8K)]
15 сентября 1996 года
1. В шестиугольнике все углы равны 120 градусов, и известны четыре последовательные его стороны. Найти две остальные.
2. Найти число положительных решений (x>0, y>0) системы уравнений
x^y= y^x
xy=1.
3. В тетраэдре площадь каждой грани не меньше 1 и не больше 3, а наибольшая высота равна 4. Найти множество возможных значений наименьшей высоты в этом тетраэдре.
4. Найти остаток от деления многочлена x^{99}+x^3+10x+5 на многочлен x^2+1.
5. Возьмем отрезок [0,1]. Отрежем от него треть справа, затем треть слева и т.д. Указать точку, принадлежащую всем построенным отрезкам.
6. Дано число e > 0. Определить наименьшее n, при котором функцию x^2 на отрезке [-1;1] можно приблизить с точностью до e суммой n дробно-линейных функций. Это означает, что при некоторых значениях коэффициентов a_1, b_1, c_1, d_1, ..., a_n, b_n, c_n, d_n должно для всех x из отрезка [-1;1] выполняться неравенство
| a_1 x + b_1 a_n x + b_n 2 | | ----------- + ... + ----------- - x | < e. | c_1 x + d_1 c_n x+ d_n |
[Postscript (22K)|Zipped postscript (7K)]
25 мая 1997 года
1. Найти значение выражения [\sqrt(n^2+16n+1997)] при n=199819992000 (квадратные скобки обозначают целую часть, \sqrt обозначает квадратный корень).
2. Докажите, что функция y= sin(x^2) не является периодической.
3. Два равносторонних треугольника со стороной 1 расположены так, что второй из них получается из первого сдвигом на расстояние d вдоль прямой, параллельной одной из сторон первого треугольника. Оба треугольника одновременно начинают вращаться с одинаковой угловой скоростью относительно своих центров описанных окружностей. При каких значениях d треугольники смогут сделать полный оборот, не задевая друг друга, если: (а) треугольники вращаются в одну сторону; (б) треугольники вращаются в противоположные стороны?
4. По прямой дороге равномерно едет телега. В 12.00 она была в 10 километрах от неподвижного наблюдателя, в 12.20 в 9 километрах, в 13.00 -- в 7 километрах. Найти расстояние от наблюдателя до дороги.
5. При каких значениях a, b и c множество вещественных решений уравнения
5 2 x + ax + bx + c = 0состоит из чисел 1 и -1?
6. Для каждой пары вершин куба проведена плоскость, проходящая через середину соединяющего их отрезка и перпендикулярная этому отрезку. На сколько частей эти плоскости разбивают куб?
[Postscript (24K)|Zipped postscript (7K)]
7 сентября 1997 года
1. В пространстве расположены цилиндр и окружность, не лежащая на его поверхности. Чему может быть равно количество точек пересечения окружности и боковой поверхности цилиндра?
2. Бильярдный стол представляет собой прямоугольник, вершины которого находятся в точках с координатами (0,0), (10,0), (0,5) и (10,5). Сколькими способами шар может попасть из точки A(1,1) в точку B(2,\sqrt5/2), испытав ровно 1997 отражений и ни разу не попав в угол стола? При отскоке шара от бортика угол падения равен углу отражения. Знак \sqrt означает "квадратный корень".
3. Вася написал на доске 100 различных целых положительных чисел, а Петя нашел их всевозможные попарные суммы (включая и суммы двух одинаковых чисел). В результате получилось 199 различных сумм. Какие числа были выписаны Васей, если известно, что среди них были числа 1 и 3, но не число 2?
4. Назовем шириной многоугольника наибольшее из попарных расстояний между вершинами этого многоугольника. Какие значения может принимать ширина прямоугольной проекции правильного пятиугольника на плоскость? Сторона пятиугольника равна 1. Плоскость, в которой лежит пятиугольник, не перпендикулярна плоскости проекции.
5. Телефонная компания планирует перейти с поминутной оплаты (по 1000 рублей за каждую полную и неполную минуту разговора) на точную оплату (разговор стоит 1000t рублей, где t -- время разговора в минутах). В связи с этим специалисты компании выбрали 100 звонков и подсчитали, что при точной оплате за эти звонки было бы получено на 30% денег меньше, чем при поминутной. Из выбранных 100 звонков ровно n имели длительность менее 3 минут. Найдите наименьшее возможное значение числа n.
